“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，這是許多同學(xué)在解題時(shí)無(wú)法避免而又屢犯不止的錯(cuò)誤，提高解題周密性，避免漏解的奧秘在于：掌握分類討論法，學(xué)會(huì)分類討論．
分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法，其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略．
解題時(shí)何時(shí)需要進(jìn)行分類?一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)問(wèn)題包含的因素發(fā)生變化，問(wèn)題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對(duì)這一關(guān)鍵因素分類討論，怎樣進(jìn)行正確分類?分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)，多級(jí)討論，逐級(jí)進(jìn)行．
【例題求解】
【例1】 四條線段的長(zhǎng)分別為9，5， ，1(其中 為正實(shí)數(shù))，用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中 的兩條線段(如圖)，則 可取值的個(gè)數(shù)為 ．
( “信利杯”競(jìng)賽題)
注：初中數(shù)學(xué)常見的分類方法有：
(1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類；
(2)對(duì)參數(shù)分類；
(3)按圖形位置分類；
(4)按圖形特征分類；
(5)按余數(shù)分類．
注：參數(shù)是較為常見的分類對(duì)象，因?yàn)閰��?shù)的不同取值，可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算結(jié)果，或者必須使用不同的方法去解決，這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用．
【例2】 方程 的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(山東省選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 這是一個(gè)特殊的冪指數(shù)方程問(wèn)題，根據(jù)冪指數(shù)的意義，可將原問(wèn)題分成三個(gè)并列的簡(jiǎn)單問(wèn)題求解：(1)非零實(shí)數(shù)的零次冪等于1；(2)1的任何次冪等于1；(3) 的偶次冪等于1．



【例3】 試確定一切有理數(shù) ，使得關(guān)于 的方程 有根且只有整數(shù)根．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 根據(jù)方程定義， 是否為零影響方程的次數(shù)，這是質(zhì)的不同，解法也不同，所以，應(yīng)對(duì)r=0及 ≠0兩種情況分類求解．



【例4】 已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長(zhǎng)為10，∠B和∠C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與點(diǎn)A、B不重合)．過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N．設(shè)MN= ．
(1)用 表示△AMN的面積S△AMN；
(2)用△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)為A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為 ．①試求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍；②當(dāng) 為何值時(shí)重疊部分的面積 最大，最大為多少?
(蘇州市中考題)
思路點(diǎn)撥 折疊△AMN，A點(diǎn)位置不確定，可能在△ABC內(nèi)或在BC邊上或在△ABC外，故需按以上三種情況分別求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出 的最大值．

注：有關(guān)平面幾何問(wèn)題，經(jīng)常按圖形相互之間的位置進(jìn)行分類，因?yàn)閳D形存在不同的位置關(guān)系，其解答結(jié)果可能不同，也可能需要使用不同的方法解決，初中平面幾何按位置關(guān)系分類，最終一般都?xì)w結(jié)為點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系．
【例5】 已知⊙Ol與⊙O2外切，⊙Ol的半徑R=2，設(shè)⊙O2的半徑是r．
(1)如果⊙Ol與⊙O2的圓心距d=4，求r的值；
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切線中有兩條互相垂直，并且r≤R，求r的值．
(南京市中考題)
思路點(diǎn)撥 題中沒(méi)有給出圖形，題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直，情況不惟一，故應(yīng)分類討論．




注：中考?jí)狠S題分類討論有以下常見情形：
(1)由點(diǎn)的不確定定引起的分類討論；
(2)由圖形全 等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān) 系的不確定性引起的分類討論；
(3)由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論．
學(xué)力訓(xùn)練
1．已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù) 的圖象與 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的取值為 ．
2．若實(shí)數(shù) 、 滿足 ， ，則 的值為 ．
3．若半徑為5和4的兩個(gè)圓相交，且公共弦長(zhǎng)為6，則它們的圓心距等于 ．
4．已知⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P，過(guò)P直線交⊙O于A、B點(diǎn)，若PA?PB=4，OP=5，則⊙O的半徑為 ．
5．和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1，-1)的直線解析式為( )
A． B． C． 或 D．
6．若線段AB兩端點(diǎn)到直線 的距離分別為4和8，則AB的中點(diǎn)到直線 的距離是( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
7．點(diǎn)A(-4，0)，B(2，0)是 坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是 的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C． 3個(gè) D．4個(gè)
8．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的P點(diǎn)有( )
A．1個(gè) B． 2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)


9．已知關(guān)于 的方程 ．
(1)求證：無(wú)論 是取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng) ，另兩邊長(zhǎng)為 、 恰 好是這個(gè)方 程的兩個(gè)根，求此三角形的周長(zhǎng)．
(湖北賽區(qū)選拔賽試題)
10．已知：如圖，拋物線C1經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似，如果相似，請(qǐng)予以證明；如果 不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)拋物線C1的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，另一條拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（拋物線C2與拋物線C1不重合），且頂點(diǎn)為M（a，b），對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G，且以M，G，E為頂點(diǎn)的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求a，b的值（只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過(guò)程）
(黃岡市中考題)

11．以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為9cm和5cm，⊙O′與這兩個(gè)圓都相切，則⊙O′的半徑是 ．
12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在 直線相交所得的銳角為50°，則底角B的大小為 ．
13．如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是 ．
(北京市宣武區(qū)中考題)

14．已知點(diǎn)A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M為圓心，MC為半徑作圓，那么當(dāng)m= 時(shí)，⊙M與直線AB相切．
15．關(guān)于 的方程 有有理根，求整數(shù)是的值．
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
16．華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下：
(1)若一次購(gòu)物少于200元，則不予優(yōu)惠；
(2)若一次購(gòu)物滿200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；
(3)若一次購(gòu)物 超過(guò)500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折優(yōu)惠．
小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元與554元，現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu)買小明分兩次購(gòu)買的同樣多的物品，他需付款多少?
(江蘇省競(jìng)賽題)
17．如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)△PQC的 周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
(3)試問(wèn)：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形 ?若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．



18．已知關(guān)于 的方程 (q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ， 且 ≤ ．
(1)試用含有 ， 的代數(shù)式表示 和 ；
(2)求證： ≤1≤
(3)若以 ， 為坐標(biāo)的點(diǎn)M( ， )在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B( ，1)，C(1，1)，問(wèn)是否存在點(diǎn)M使 + = ，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(天津市中考題)
19．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示．
(1)寫出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 ；寫出圖乙表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 ．
(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去 種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元／102?，時(shí)間單位：天)


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