有些數(shù)學(xué)問題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：
1．利用根的定義構(gòu)造
當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)�看成是關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩根．
2．利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造
若問題中有形如 ， 的關(guān)系式時(shí)，則 、 可看作方程 的兩實(shí)根．
3．確定主元構(gòu)造
對(duì)于含有多個(gè)變?cè)�的等式，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程．
成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃�、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡(jiǎn)捷、出奇制勝的效果．
注： 許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以 所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡(jiǎn)解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法．
【例題求 解】
【例1】 已知 、 是正整數(shù)，并且 ， ，則 ．

思路點(diǎn)撥 ，變形題設(shè)條件，可視 、 為某個(gè)一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡(jiǎn)解．



【例2】 若 ，且有 及 ，則 的值是( )
A． B． C． D．

思路點(diǎn)撥 第二個(gè)方程可變形為 ，這樣兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手．


【例3】 已知實(shí)數(shù) 、 滿足 ，且 ，求 的取值范圍．

思路點(diǎn)撥 由兩個(gè)等式可求出 、 的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間．

【例4】 已知實(shí)數(shù) 、 、 滿足 ， ．
(1)求 、 、 中最大者的最小值；
(2)求 的最小值．

思路點(diǎn)撥 不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得 ， ．構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過△≥0探求 的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)．

注： 構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運(yùn)用判 別式△≥0，建立含參數(shù)的不等式，
縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用．
【例5】 試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)． (2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為 ， ，則有 ，將此方程整理成關(guān)于 (或 )的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定 (或 )的取值范圍．


學(xué)歷訓(xùn)練
1．若方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是 ，則 的取值范圍是 ．
2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程 的兩個(gè)根，則m的值是 ．
3．已知 、 滿足 ， ，則 = ．
4．已知 ， ，，則 的值為( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如圖，菱形A6CD的邊長(zhǎng)是5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于 的方程的根，則m的值為( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3


7．已知 ， ，其中 、 為實(shí)數(shù)，求 的值．

8．已知 和 是正整數(shù)，并且滿足條件 ， ，求 的值．

9．已知 ， ，其中m、n為實(shí)數(shù)，則 ＝ ．

10．如果 、 、 為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式 與 ，那么 的取值范圍是 ．
11．已知 ， 則 = ， = ．；
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長(zhǎng)為根的一元二次方程是 ．

13．已知 、 、 均為實(shí)數(shù)，且 ， ，求 的最小值．
14．設(shè)實(shí)數(shù) 、 、 滿足 ，求 的取值范圍．
15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ，梯形的高AE= ，且 ．
(1)求∠ B的度數(shù)；
(2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線 與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng) ，求作以CF、DF的長(zhǎng)為根的一元二次方程．

16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值 ，那么當(dāng) 與△BDE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，存在直線DE，有幾條?
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chusan/58166.html

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