橢圓第一定義是圓錐曲線部分的重要概念，在解題中有著重要的應(yīng)用，本文將橢圓的第一定義在解題中的應(yīng)用作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
一、利用橢圓第一定義求軌跡方程
例1 已知 中，C（-1，0），B（1，0）， ，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
分析:用正弦定理將 化為 ，由橢圓的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓.
解析：由正弦定理及 得，∴
由橢圓的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓
∴ ， ，∴ =8
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為 （ ）.
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的第一定義、正弦定理及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用定義求軌跡是求軌跡問題的一種重要方法.
二、利用橢圓第一定義解決焦點(diǎn)三角形問題
例2 已知 ， 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ 是正三角形，求橢圓的離心率.
分析：本題關(guān)鍵在于尋找 、 間關(guān)系，結(jié)合圖形，容易找到此關(guān)系.
解析：由△ 是正三角形，得 是 為 的直角三角形，設(shè) = ，則 ，則 = ，由橢圓第一定義知， = ，又 = = = = .
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的第一定義與橢圓性質(zhì)，對焦點(diǎn)三角形問題，常用到第一定義.
例3 已知橢圓 ( )的焦點(diǎn)分別為 ， ，P是橢圓上一點(diǎn)， = ，
（1）求 的最大值；（2）求 的面積.
分析：涉及到焦點(diǎn)三角形問題時(shí)，根據(jù)題意，配湊出 形式，再利用橢圓的第一定義，解決有關(guān)問題.
解析：（1）∵ 在橢圓上，∴ =
在 中， = ，
= = = = （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號），
又∵余弦函數(shù) 在 上是減函數(shù)，
∴當(dāng) = 時(shí)， = ；
（2）在 中，由余弦定理知， = = ，
∴ = =
∴ = = = .
點(diǎn)評：解決橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，要充分利用正弦定理、余弦定理、橢圓的第一定義，關(guān)鍵是配湊出 的形式.
三、利用第一定義計(jì)算橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題
例4已知 ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 的直線與橢圓交于 ， ，弦AB=4，求 的周長.
分析：本題涉及橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題，利用橢圓第一定義求解.
解析:因?yàn)?， 在橢圓上，所以 =10， =10，
∴ + =10，而 ，
∴ ，即 的周長為20.

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