1.1.2 弧度制
【目標(biāo)】
① 了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的換算.
② 認(rèn)識(shí)弧長(zhǎng)公式，能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用. 對(duì)弧長(zhǎng)公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.
③了解角的集合與實(shí)數(shù)集建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)分析、解決問(wèn)題.
【重難點(diǎn)】
重點(diǎn)：了解弧度制，并能進(jìn)行弧度與角度的換算.
難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.
【教學(xué)過(guò)程】
（一）復(fù)習(xí)引入.
復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)：角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)及弧長(zhǎng)的關(guān)系
提出問(wèn)題：
①初中的角是如何度量的？度量單位是什么？

② 1°的角是如何定義的？弧長(zhǎng)公式是什么？

③ 角的范圍是什么？如何分類(lèi)的？
（二）概念形成
初中學(xué)習(xí)中我們知道角的度量單位是度、分、秒，它們是60進(jìn)制，角是否可以用其它單位度量，是否可以采用10進(jìn)制？
1．自學(xué)課本第7、8頁(yè).通過(guò)自學(xué)回答以下問(wèn)題：
(1)角的弧度制是如何引入的？

(2)為什么要引入弧度制？好處是什么？

(3)弧度是如何定義的？

(4)角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系?

2．學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖來(lái)探究：
(1)平角、周角的弧度數(shù)

(2)角的弧度制與角的大小有關(guān)，與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？


(3)角的弧度與角所在圓的半徑、角所對(duì)的弧長(zhǎng)有何關(guān)系？

3．角度制與弧度制如何換算？

rad 1 =
歸納：把角從弧度化為度的方法是：
把角從度化為弧度的方法是：
一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,請(qǐng)補(bǔ)充完整
30°90°120°150°270°
0

例1、把下列各角從度化為弧度：
(1) （2） (3) (4)

解：(1) （2） (3) (4)
變式練習(xí)：把下列各角從度化為弧度：
(1)22 30′ （2）?210 (3)1200
解：(1) （2） (3)
例2、把下列各角從弧度化為度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
解：（1）108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45
變式練習(xí)：把下列各角從弧度化為度：
（1） （2）? （3）
解：（1）15 （2）-240 （3）54

弧度數(shù)表示弧長(zhǎng)與半徑的比,是一個(gè)實(shí)數(shù),這樣在角集合與實(shí)數(shù)集之間就建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

弧度下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式
弧長(zhǎng)公式：
因?yàn)?（其中 表示 所對(duì)的弧長(zhǎng)），所以，弧長(zhǎng)公式為．

扇形面積公式：．

說(shuō)明：以上公式中的 必須為弧度單位．

例3、知扇形的周長(zhǎng)為8 ，圓心角 為2rad，，求該扇形的面積。
解：因?yàn)?R+2R=8,所以R=2,S=4
變式練習(xí)：
1、半徑為120mm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是144mm，求該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)。
答案：
2、半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 ，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的　　2 　倍。
3、若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 ，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是 4cm2 �。�
4、以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的圓中，一條弦 的長(zhǎng)度為 ， 所對(duì)的圓心角
的弧度數(shù)為　 　 �。�

(三）課堂小結(jié)：
1、弧度制的定義；
2、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；
3、牢記弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，并靈活運(yùn)用；

（四）作業(yè)布置 習(xí)題1.1A組第7，8，9題。

（五）課后檢測(cè)
1．在 中，若 ，求A，B，C弧度數(shù)。
答案：A= B= C=
2．直徑為20cm的滑輪，每秒鐘旋轉(zhuǎn) ，則滑輪上一點(diǎn)經(jīng)過(guò)5秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是多少？
答案：
3．選做題
如圖，扇形 的面積是 ，它的周長(zhǎng)是 ，求扇形的中心角及弦 的長(zhǎng)。
答案：

〖板書(shū)設(shè)計(jì)〗

1.1.2 弧度制
（一）復(fù)習(xí)引入
（二）概念形成 例1 例2
（三）弧度下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式
例3
小結(jié)：
1.1.2 弧度制

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
初中學(xué)習(xí)中我們知道角的度量單位是度、分、秒，它們是60進(jìn)制，角是否可以用其它單位度量，是否可以采用10進(jìn)制？
自學(xué)課本第7、8頁(yè).通過(guò)自學(xué)回答以下問(wèn)題：
1、角的弧度制是如何引入的？

2、為什么要引入弧度制？好處是什么？

3、弧度是如何定義的？

4、角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系?

三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度數(shù)？

2、角的弧度制與角的大小有關(guān)，與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？

3、角的弧度與角所在圓的半徑、角所對(duì)的弧長(zhǎng)有何關(guān)系？


課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解弧度制的意義；
2.能正確的應(yīng)用弧度與角度之間的換算；
3.記住公式 （ 為以. 作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)， 為圓半徑）；
4．熟練掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式及其應(yīng)用。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
弧度與角度之間的換算；
弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的應(yīng)用。
三、學(xué)習(xí)過(guò)程
（一）復(fù)習(xí)：初中時(shí)所學(xué)的角度制，是怎么規(guī)定 角的？角度制的單位有哪些，是多少進(jìn)制的？
（二）為了使用方便，我們經(jīng)常會(huì)用到一種十進(jìn)制的度量角的單位制??弧度制。
<我們規(guī)定> 叫做1弧度的角，用符號(hào) 表示，讀作 。
練習(xí)：圓的半徑為 ，圓弧長(zhǎng)為 、 、 的弧所對(duì)的圓心角分別為多少？
<思考>：圓心角的弧度數(shù)與半徑的大小有關(guān)嗎？
由上可知：如果半徑為r的園的圓心角 所對(duì)的弧長(zhǎng)為 ,那么，角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：

， 的正負(fù)由 決定。
正角的弧度數(shù)是一個(gè) ，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè) ，零角的弧度數(shù)是 。
<說(shuō)明>：我們用弧度制表示角的時(shí)候，“弧度”或 經(jīng)常省略，即只寫(xiě)一實(shí)數(shù)表示角的度量。
例如：當(dāng)弧長(zhǎng) 且所對(duì)的圓心角表示負(fù)角時(shí)，這個(gè)圓心角的弧度數(shù)是
．
（三）角度與弧度的換算


rad 1 =
歸納：把角從弧度化為度的方法是：
把角從度化為弧度的方法是：

<試一試>：一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,請(qǐng)補(bǔ)充完整
30°90°120°150°270°
0

例1、把下列各角從度化為弧度：


變式練習(xí)：把下列各角從度化為弧度：
(1)22 30′ （2）?210 (3)1200

例2、把下列各角從弧度化為度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)

變式練習(xí)：把下列各角從弧度化為度：
（1） （2）? （3）

（四）弧度數(shù)表示弧長(zhǎng)與半徑的比,是一個(gè)實(shí)數(shù),這樣在角集合與實(shí)數(shù)集之間就建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.


（五）弧度下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式
弧長(zhǎng)公式：
因?yàn)?（其中 表示 所對(duì)的弧長(zhǎng)），所以，弧長(zhǎng)公式為 ．
扇形面積公式：．

說(shuō)明：以上公式中的 必須為弧度單位．

例3、知扇形的周長(zhǎng)為8 ，圓心角 為2rad，，求該扇形的面積。

變式練習(xí) 1、半徑為120mm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是144mm，求該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)。


2、半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 ，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的　　 　倍。

3、若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 ，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是　　　　 �。�


4、以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的圓中，一條弦 的長(zhǎng)度為 ， 所對(duì)的圓心角
的弧度數(shù)為　　 　．
（六）課堂小結(jié)：
1、弧度制的定義；
2、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；
3、牢記弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，并靈活運(yùn)用；

（七）作業(yè)布置 習(xí)題1.1A組第7，8，9題。


課后練習(xí)與提高

1．在 中，若 ，求A，B，C弧度數(shù)。

2．直徑為20cm的滑輪，每秒鐘旋轉(zhuǎn) ，則滑輪上一點(diǎn)經(jīng)過(guò)5秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是多少？


3．選做題
如圖，扇形 的面積是 ，它的周長(zhǎng)是 ，求扇形的中心角及弦 的長(zhǎng)。



參考答案：
例1解：(1) （2） (3) (4)
變式練習(xí)：解：(1) （2） (3)
例2、解：（1）108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45
變式練習(xí)：解：（1）15 （2）-240 （3）54
例3、解：因?yàn)?R+2R=8,所以R=2，S=4
變式練習(xí)：
1、 ，2、2，3、4cm2 ，4、
課后練習(xí)與提高
1．答案：A= B= C=
2．答案：

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