2.3.1 拋物線及其標準方程
一、目標
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會推導拋物線的標準方程
2.能夠利用給定條件求拋物線的標準方程
3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動，培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數(shù)學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數(shù)學觀。并進一步感受坐標法及數(shù)形結合的思想
二、重點
拋物線的定義及標準方程
三、教學難點
拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導（關鍵是坐標系方案的選擇）
四、教學過程
（一）復習舊知
在初中，我們學習過了二次函數(shù) ，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線
例如：（1） ，（2） 的圖象（展示兩個函數(shù)圖象）：

（二）講授新課
1.課題引入
在實際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？
這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題§2.4.1 拋物線及其標準方程）
2.拋物線的定義
信息技術應用（課堂中展示畫圖過程）
先看一個實驗：
如圖：點F是定點， 是不經(jīng)過點F的定直線，H是 上任意一點，過點H作 ，線段FH的垂直平分線 交MH于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？（學生觀察畫圖過程，并討論）
可以發(fā)現(xiàn)，點M隨著H運動的過程中，始終有MH=MF,即點M與定點F和定直線 的距離相等。（也可以用幾何畫板度量MH，MF的值）
（定義引入）：
我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線 （ 不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線 叫做拋物線的準線.（板書）
思考？若F在 上呢？（學生思考、討論、畫圖）
此時退化為過F點且與直線 垂直的一條直線.
3.拋物線的標準方程
從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點 滿足到焦點F的距離與到準線 的距離相等。那么動點 的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？
要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標系.
問題 設焦點F到準線 的距離為 ，你認為應該如何選擇坐標系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標系的方案，求拋物線的方程.
（引導學生分組討論，回答，并不斷補充常見的幾種建系方法，叫學生應用投影儀展示計算結果）
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注意：1.標準方程必須出來，此表格在黑板上板書。
2.若出現(xiàn)比較復雜建系方案，可以以引入的字母參數(shù)較多為由，先排除計算
3.強調(diào)P的意義。
4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解 為坐標的點到拋物線的焦點的距離與到準線的距離相等，即方程的解為坐標的點都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程.
（選擇標準方程）
師：觀察4（3）個建系方案及其對應的方程，你認為哪種建系方案使方程更簡單？
（學生選擇，說明1.對稱軸 2.焦點 3.方程無常數(shù)項，頂點在原點）
推導過程：取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，如右圖所示，則有F（ ,0）,l的方程為x=— .
設動點M（x,y），由拋物線定義得：
化簡得y2=2px(p＞0)
師：我們把方程 叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點坐標是 ，準線方程是 。
師：在建立橢圓、雙曲線的標準方程的過程中，選擇不同的坐標系得到了不同形式的標準方程，對于拋物線，當我們選擇如圖三種建立坐標系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標準方程：
（學生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計算三種情況，一起填充表格）
圖形標準方程焦點坐標準線方程


y2=2px(p＞0)
（ ,0）

x=—



y2=—2px(p＞0)
（— ,0）

x=



x2=2py(p＞0)
（0, ）

y=—



x2=—2py(p＞0)
（0,— ）

y=

(三)例題講解
例1（1）已知拋物線的標準方程是 ，求它的焦點坐標和準線方程,
（2）已知拋物線的焦點是 ，求它的標準方程.
解：（1）∵拋物線方程為y2=6x
∴p=3，則焦點坐標是（ ，0），準線方程是x=— .
（2）∵焦點在y軸的負半軸上，且 =2，∴p=4
則所求拋物線的標準方程是：x2=—8y.
變式訓練1：
(1)已知拋物線的準線方程是x=— ，求它的標準方程.
(2)已知拋物線的標準方程是2y2+5x=0,求它的焦點坐標和準線方程.
解(1)∵焦點是F（0，3），∴拋物線開口向上，且 =3，則p=6
∴所求拋物線方程是x2=12y
(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=— x，∴p= [高考學習網(wǎng)XK]
則焦點坐標是F(— ,0)，準線方程是x=
例2 點M與點F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.
解：如右圖所示，設點M的坐標為（x,y)
由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點的拋物線.
∵ =4，∴p=8
因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y2=16x.
變式訓練2：
在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A（3，2）的距離之和最小.
解：如下圖所示，設拋物線的點P到準線的距離為PQ
由拋物線定義可知：PF=PQ
∴PF+PA=PQ+PA
顯然當P、Q、A三點共線時，PQ+PA最小.
∵A(3,2)，可設P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故點P的坐標為（2，2）.
(四)小結
1、拋物線的定義；
2、拋物線的四種標準方程；
3、注意拋物線的標準方程中的字母P的幾何意義.
(五)課后練習


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