2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

一、教材分析
本節(jié)學習的關(guān)鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.
二．目標
1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；
2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；
3．體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。
三、重點難點
重點： 1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，2、性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用。
難點：平面向量數(shù)量積的概念
四、學情分析
我們的學生屬于平行分班，沒有實驗班，學生已有的知識和實驗水平有差距。有些學生對于基本概念不清楚，所以講解時需要詳細
五、教學方法
1．實驗法：多媒體、實物投影儀。
2．學案導學：見后面的學案。
3．新授教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結(jié)疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結(jié)、當堂檢測→發(fā)導學案、布置預習
六、前準備
1．學生的學習準備：預習學案。
2．教師的教學準備：多媒體制作，前預習學案，內(nèi)探究學案，后延伸拓展學案。。
七、時安排：1時
八、教學過程
(一)預習檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。

（二）情景導入、展示目標。
創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新
1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？
期望學生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。
2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？
期望學生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應(yīng)用
3、新引入：本節(jié)我們?nèi)匀话凑者@種研究思路研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
（三）合作探究，精講點撥
探究一：數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W= F S cosα。
（2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用字語言表述“功的計算公式”嗎?
期望學生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量 ? ?•? b?cos 叫做 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作： • ，即： • = ? ?•? ?cos
（2）定義說明：
①記法“ • ”中間的“• ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？
期望學生回答：線性運算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量 與 的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。
（4）學生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符號

例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，當① ∥ ，② ⊥ ，③ 與 的夾角是60°時，分別求 • .
解：①當 ∥ 時，若 與 同向，則它們的夾角θ＝０°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當 ⊥ 時，它們的夾角θ＝90°，
∴ • ＝０；
③當 與 的夾角是60°時，有
• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
評述： 兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當 ∥ 時，有0°或180°兩種可能.
變式：對于兩個非零向量 、 ，求使 +t 最小時的t值，并求此時 與 +t 的夾角。

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把│ │cos （│ │cos ）
叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，
記做：OB1=?│ │?cos
2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？
期望學生回答：數(shù)量積 • 等于 的長度? ?與 在 的方向上的投影
? ?cos 的乘積。

3. 研究數(shù)量積的物理意義
請同學們用一句話概括功的數(shù)學本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積 。

探究三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì)
1、提出問題6：
比較? • ?與? ?×? ?的大小，你有什么結(jié)論？
2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運算律
（1）、提出問題7：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？
預測：學生可能會提出以下猜想：
① • = •
②（ • ） = ( • )
③（ + ）• = • + •
（2）、分析猜想：
猜想①的正確性是顯而易見的。
關(guān)于猜想②的正確性，請同學們先討論：猜測②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？
期望學生回答：左邊是與向量 共線的向量，而右邊則是與向量 共線的向量，顯然在向量 與向量 不共線的情況下猜測②是不正確的。
（3）、明晰：數(shù)量積的運算律：

例2、（師生共同完成）已知? ?=6，? ?=4, 與 的夾角為60°，求（ +2 ）•（ -3 ），并思考此運算過程類似于實數(shù)哪種運算？
解：（ +2 ）•（ -3 ）= . -3 . +2 . -6 .
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72
評述：可以和實數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運算律

變式：（1）( + )2= 2+2 • + 2
（2）( + )•( - )= 2— 2

（四）反思總結(jié)，當堂檢測。
教師組織學生反思總結(jié)本節(jié)的主要內(nèi)容，并進行當堂檢測。
設(shè)計意圖：引導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（堂實錄）
（五）發(fā)導學案、布置預習。
我們已經(jīng)學習平面向量數(shù)量積的物理背景及含義，那么，在下一節(jié)我們一起學習數(shù)量積的坐標運算。模。夾角。這節(jié)后大家可以先預習這一部分，著重分析坐標的作用
設(shè)計意圖：布置下節(jié)的預習作業(yè)，并對本節(jié)鞏固提高。教師后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓練。
九、板書設(shè)計

十、教學反思
本的設(shè)計采用了前下發(fā)預習學案，學生預習本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學生學習過程中易忘、易混點等，最后進行當堂檢測，后進行延伸拓展，以達到提高堂效率的目的。我首先安排讓學生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學生從代數(shù)和

幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運算性質(zhì)是將嘗試練習的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運算律則是通過和實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。
臨清三中數(shù)學組 編寫人：王曉燕 審稿人：劉桂江 李懷奎
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

前預習學案
一、預習目標：
預習平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；
二、預習內(nèi)容：
1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：


2.兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別

3．“投影”的概念：作圖
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè) 、 為兩個非零向量，e是與 同向的單位向量.
1 e = e =
2    =
設(shè) 、 為兩個非零向量，e是 與同向的單位向量.
e = e =
3 當 與 同向時，  = 當 與 反向時，  = 特別的  = 2或
4 cos =
5  ≤

三、提出疑惑：
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容

內(nèi)探究學案
一、學習目標
1說出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2.學會用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；
學習重難點：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義
二、學習過程
創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新
1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？

2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？

3、新引入：本節(jié)我們?nèi)匀话凑者@種研究思路研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
探究一：
數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用字語言表述“功的計算公式”嗎?
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量 ? ?•? ?cos 叫做 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作： • ，即： • = ? ?•? ?cos
（2）定義說明：
①記法“ • ”中間的“• ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？

（4）學生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符號

例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，當① ∥ ，② ⊥ ，③ 與 的夾角是60°時，分別求 • .
解：

變式：
. 對于兩個非零向量 、 ，求使 +t 最小時的t值，并求此時 與 +t 的夾角.

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把│ │cos （│ │cos ）
叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，
記做：OB1=?│ │?cos
2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？

3. 研究數(shù)量積的物理意義
請同學們用一句話概括功的數(shù)學本質(zhì)：

探究三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì)
1、提出問題6：比較? • ?與? ?×? ?的大小，你有什么結(jié)論？

2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運算律
（1）、提出問題7：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也用？

（2）、明晰：數(shù)量積的運算律：

例2、（師生共同完成）已知? ?=6，? ?=4, 與 的夾角為60°，求（ +2 ）•（ -3 ），并思考此運算過程類似于實數(shù)哪種運算？
解：

變式：（1）( + )2= 2+2 • + 2
（2）( + )•( - )= 2— 2

（三）反思總結(jié)

(四)當堂檢測

1 .已知 =5， =4， 與 的夾角θ=120o，求 • .

2. 已知 =6， =4， 與 的夾角為60o求( +2 )•( -3 )
.
3 .已知 =3， =4， 且 與 不共線，k為何值時，向量 +k 與 -k 互相垂直.

4.已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，當① ∥ ，② ⊥ ，③ 與 的夾角是60°時，分別求 • .

5.已知 =1， = ，(1)若 ∥ ，求 • ；(2)若 、 的夾角為６０°，求 + ；(3)若 - 與 垂直，求 與 的夾角.

6.設(shè)m、n是兩個單位向量，其夾角為６０°，求向量 =2m+n與 =2n-3m的夾角.

后練習與提高
1.已知 =1， = ，且( - )與 垂直，則 與 的夾角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知 =2， =1， 與 之間的夾角為 ，那么向量m= -4 的模為（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知 、 是非零向量，則 = 是( + )與( - )垂直的（ ）
A.充分但不必要條 B.必要但不充分條?
C.充要條 D.既不充分也不必要條
4.已知向量 、 的夾角為 ， =2， =1，則 + • - = .
5.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么 • = .
6.已知 ⊥ 、c與 、 的夾角均為60°，且 =1， =2，c=3，則( +2 -c)２＝______.

參考答案：
1. D 2. B 3. A
4. 5. 144 6. 11

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