題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體 空間角
高考要求
　　1 掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念
2 會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角
知識點(diǎn)歸納
1．異面直線所成的角：已知兩條異面直線 ，經(jīng)過空間任一點(diǎn) 作直線 ， 所成的角的大小與點(diǎn) 的選擇無關(guān)，把 所成的銳角（或直角）叫異面直線 所成的角（或夾角）．為了簡便，點(diǎn) 通常取在異面直線的一條上
異面直線所成的角的范圍：
2．求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法
3．直線和平面所成角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
一直線垂直于平面，所成的角是直角
一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0?角
直線和平面所成角范圍： ?0， ?
（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角
4．公式：平面?的斜線a與?內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與?相交成?1角，a在?上的射影c與b相交成?2角，則有
5 二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面 若棱為 ，兩個面分別為 的二面角記為 ；
6．二面角的平面角：
（1）過二面角的棱上的一點(diǎn) 分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線 ，則 叫做二面角 的平面角
（2）一個平面垂直于二面角 的棱 ，且與兩半平面交線分別為 為垂足，則 也是 的平面角
說明：①二面角的平面角范圍是 ；
②二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法
8 求二面角的射影公式： ，
其中各個符號的含義是： 是二面角的一個面內(nèi)圖形F的面積， 是圖形F在二面角的另一個面內(nèi)的射影， 是二面角的大小
9．三種空間角的向量法計算公式：
⑴異面直線 所成的角 ： ；
⑵直線 與平面 (法向量 )所成的角 ： ；
⑶銳二面角 ： ，其中 為兩個面的法向量
題型講解
例1 直三棱柱A1B1C1?ABC，∠BCA=90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（　�。�
A． B． C． D．
解法一：(幾何法)如圖，連結(jié)D1F1，
則D1F1
BC ∴D1F1
設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或補(bǔ)角即為所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A= ．
解法二：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1
則A（－1，0，0），F(xiàn)1（－ ，0，1），
B（0，－1，0），D1（－ ，－ ，1）
即 =（ ，0，1）， =（－ ， ，1）
∴cos< ， >=
點(diǎn)評： 解法一與解法二從兩個不同角度求異面直線所成的角．解法一體現(xiàn)傳統(tǒng)方法作?證?算；解法二把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點(diǎn)．
例2 在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角．
分析:求線面角的關(guān)鍵在于找出斜線在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，線面角即可作出，然后轉(zhuǎn)化到三角形中求解．
解法一: 取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、DF
∵正四面體ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC 平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
過E作EH⊥DF于H，
而DF 平面BCD，則EH⊥面BCD
則∠ECH為CE與面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH= ．
即CE與平面BCD成的角為arcsin ．
解法二：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點(diǎn)，,OD,OA依次為y軸，z 軸 X軸平行于BC
設(shè)正四面體ABCD的棱長為 ，
則
∴
∵E為AD的中點(diǎn)，∴
∴
又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為 ，
∴即CE與平面BCD成的角 滿足：

點(diǎn)評：求線面角的兩種方法
例3 如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角E?BD?C的正切值．
解法一：∵ABCD?A1B1C1D1是長方體，
∴作EF⊥面BCD，而E為 的中點(diǎn)，則F為CD的中點(diǎn)，過F作FM⊥BD交BD于M，連EM，由三垂線定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E?BD?C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1× ＝
∴tan∠EMF＝ ．
解法二：∵S△BDF＝S△EBD?cosθ
而S△BDF＝ BD?FM＝ ? ? ＝ ，
又BD＝ ，ED＝ ，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ ED?EB＝
∴cosθ＝ ；tanθ＝ ．
解法三：過E作棱BD的垂線EM交BD于M，過C點(diǎn)作棱BD的垂線CN交BD于N，E、C是異面直線EM、CN上兩點(diǎn)，CE＝ ．EM＝ ，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴MN＝DM＝
∴2＝ cosθ
cosθ＝ ，tanθ＝ ．
解法四：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
設(shè)平面DBE的方程為： （過原點(diǎn)D=0）
則
∴平面DBE的一個法向量為
又因?yàn)槠矫鍮CD的一個法向量為
二面角E?BD?C的余弦值為：

∴
點(diǎn)評： 選此題意在通過此題使學(xué)生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂線定理及逆定理法，投影法，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式法．
例4 正方體ABCD-EFGH的棱長為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直線PQ與平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直線PQ與AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量 與 的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐標(biāo)系后，求出
可由cos 求解，
解（1）作QM⊥BC于M，連MP，則∠QMP就是直線PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM= ， MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則
Q（0， P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
, =(0,a,0)

QP與AD所成的角為90°
例5 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值
分析：此題中二面角的棱沒有畫出，按常規(guī)解可延長BA，CD相交于E，則SE是二面角的棱，因?yàn)镈A⊥面ABS，過點(diǎn)A作SE的垂線交SE于F，連結(jié)DF，則∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求兩個面的法向量所成的角或補(bǔ)角
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（ ，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知 是面SAB的法向量
設(shè)平面SCD的法向量 =（x，y，z）
=0，
可推出 令x=2,則有y=-1,z=1, =（2，-1，1）
設(shè)所求二面角的大小為θ，則
cosθ= =
, tan
例6 已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）證明：C1C⊥BD；
（2）當(dāng) 的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD 請給出證明
證明：如設(shè)∠C1CB=θ，由題設(shè)，∠C1CD=∠BCD=θ 令 = ， = ， = ， =1， =x，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以 =1，
（1）∵ -
∴ ? = ?( - )= ? - ?
=1?x?cosθ-1?x?cosθ=0
∴ C1C⊥BD
（2）假設(shè)A1C⊥平面C1BD成立
則A1C⊥C1D，從而 ? =0
由于 = - ， = + +
因此
? =( + + )?( - )
= 2+ ? + ? - ?c- ? - 2
= 2+ ? + ? - 2=1+1?1?cosθ-1?x?cosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
從而(1-x)?(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是說 時，A1C⊥平面C1BD成立
點(diǎn)評：平行六面體的12條棱共分三組，每組四條棱兩兩平行，故可取共頂點(diǎn)的三條棱作為空間向量的基底，此題中 ， ， 三個共點(diǎn)向量為基底，其余向量可由此三個向量生成
小結(jié)：
空間角的求解有兩種方法一種是幾何法，另一種是向量法．
1．幾何法一般要有三個步驟．
（1）作圖：如上例中作出二面角的平面角及題中涉及的有關(guān)圖形等；
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；
（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．
2．向量法是把求角的問題轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角．這里平面的法向量常用待定系數(shù)法求解，平面的法向量是關(guān)鍵．
學(xué)生練習(xí)
1．異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與a、b所成的角都是30°的直線有（　�。�
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
解析：將a、b平移到點(diǎn)P，則過P與a、b所成的角都是30°的直線為2條．
答案：B
2．平面α的斜線與α所成的角為30°，則此斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角的最大值為（　�。�
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本題易誤選D，因斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線，故最大角為90°．
答案：C
3．在邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C后，BC＝ a，這時二面角B?AD?C的大小為（　�。�
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：折起后△BCD為正三角形．
答案：C
4．四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：取AD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，則GE CD，GE= AB
∵CD=2AB ∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方體A?C1中，E、F分別為D1C1與AB的中點(diǎn)，則A1B1與截面A1ECF所成的角為（　�。�
A．a(chǎn)rctan B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rcsin D．都不對
解：（向量法）建立以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1
設(shè)平面A1FCE的法向量 =（x，y，z）, 則 ? =0， ? =0
∵ =（－1， ，0）， =（0，－ ，1）
∴ ,令y=2 , ∴ =（1，2，1）
又∵ =（0，1，0） ∴cos< , >=
∴A1B1與平面A1FCE成的角為arcsin 答案：A
6．一條直線與直二面角的兩個面所成的角分別是α和β，則α＋β的范圍是_____．
解：設(shè)A、B分別為平面M、N內(nèi)任一點(diǎn)，過A、B分別作AC⊥ ，BD⊥ 垂足為C、D．則∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角為銳角的二面角α?EF?β中，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，則二面角α?EF?β的平面角為______．
答案：45°
8．二面角α? ?β的平面角為120°，A、B∈ ，AC α，BD β，AC⊥ ，BD⊥ ，若AB＝AC＝BD＝ ，則CD的長為 ．
解析：∵ ，AC⊥ ，BD⊥ ．AB∈ ．
∴ ，
∴
答案：2
9．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（－2，3），B（3，－2），沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為θ的二面角后，｜AB｜＝4 ，則θ的值為 ．
答案：60°


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