2．2．2事的相互獨立性
目標：
知識與技能：理解兩個事相互獨立的概念。
過程與方法：能進行一些與事 獨立有關的概率的計算。
情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。
重點：獨立事 同時發(fā)生的概率
教學難點：有關獨立事發(fā)生的概率計算
授類型：新授
時安排：2時
教 具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1 事的定義：隨機事：在一定條下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事；
必然事：在一定條下必然發(fā)生的事；
不可能事：在 一定條下不可能發(fā)生的事
2．隨機事的概率：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事 發(fā)生的頻率 總是接近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事 的概率，記作 ．
3.概率的確定方法：通過進行大量的重復試驗，用這個事發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；
4．概率的性質：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機事的兩個極端情形
5 基本事：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果（事 ）稱為一個基本事
6．等可能性事：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每個基本事的概率都是 ，這種 事叫等可能性事
7．等可能性事的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果都是等可能的，如果事 包含 個結果，那么事 的概率
8．等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意義:對于事A和事B是可以進行加法運算的
10 互斥事:不可能同時發(fā)生的兩個事．
一般地：如果事 中的任何兩個都是互斥的，那么就說事 彼此互斥
11．對立事:必然有一個發(fā)生的互斥事．
12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么
＝
探究:
(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？
事 ：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事 ：乙擲一枚硬幣，正面朝上
(2)甲壇子里有3個白球，2個黑球，乙壇子里有2個白球，2個黑球，從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率是多少？
事 ：從甲壇子里摸出1個球，得到白球；事 ：從乙壇子里摸出1個球，得到白球
問題(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同時發(fā)生嗎？（可以）
問題(1)、(2)中事 （或 ）是否發(fā)生對事 （或 ）發(fā)生的概率有無影響？（無影響）
思考:三張獎券中只有一張能中獎,現分別由三名同學有放回地抽取,事A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”, 事B為“最后一名同學抽到中獎獎券”. 事A的發(fā)生會影響事B 發(fā)生的概率嗎?
顯然，有放回地抽取獎券時，最后一名同學也是從原的三張獎券中任抽一張，因此第一名同學抽的結果對最后一名同學的抽獎結果沒有影響，即事A的發(fā)生不會影響事B 發(fā)生的概率．于是
P（B A）=P(B）,
P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).
二、講解新：
1．相互獨立事的定義：
設A, B為兩個事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事A與事B相互獨立（mutually independent ) .
事 （或 ）是否發(fā)生對事 （或 ）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事叫做相互獨立事
若 與 是相互獨立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨立
2．相互獨立事同時發(fā)生的概率：
問題2中，“從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球”是一個事，它的發(fā)生，就是事 ， 同時發(fā)生，記作 ．（簡稱積事）
從甲壇子里摸出1個球，有5種等可能的結果；從乙壇子里摸出1個球，有4種等可能的結果 于是從這兩個壇子里分別摸出1個球，共有 種等可能的結果 同時 摸出白球的結果有 種 所以從這兩個壇子里分別摸出1個球，它們都是白球的概率 ．
另一方面，從甲壇子里摸出1個球，得到白球的概率 ，從乙壇子里摸出1個球，得到白球的概率 ．顯然 ．
這就是說，兩個相互獨立事同時發(fā)生的概率，等于每個事發(fā)生的概率的積 一般地，如果事 相互獨立，那么這 個事同時發(fā)生的概率，等于每個事發(fā)生的概率的積，
即 ．
3．對于事A與B及它們的和事與積事有下面的關系：

三、講解范例：
例 1.某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎中以下事的概率：
(1)都抽到某一指定號碼；
(2)恰有一次抽到某一指定號碼；
(3)至少有一次抽到某一指定號碼．
解： (1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事A, “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事B ，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事AB．由于兩次抽獎結果互不影響，因此A與B相互獨立．于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 與 B互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為
P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 兩兩互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2.甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊 次，甲射中的概率為 ，乙射中的概 率為 ，求：
（1） 人都射中目標的概率；
（2） 人中恰有 人射中目標的概率；
（3） 人至少有 人射中目標的概率；
（4） 人至多有 人射中目標的概率？
解：記“甲射擊 次，擊中目標”為事 ，“乙射擊 次，擊中目標”為事 ，則 與 ， 與 ， 與 ， 與 為相互獨立事，
（1） 人都射中的概率為：
，
∴ 人都射中目標的概率是 ．
（2）“ 人各射擊 次，恰有 人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事 發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事 發(fā)生） 根據題意，事 與 互斥，根據互斥事的概率加法公式和相互獨立事的概率乘法公式，所求的概率為：


∴ 人中恰有 人射中目標的概率是 ．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為 ．
（法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事，
2個都未擊中目標的概率是 ，
∴“兩人至少有1人擊中目標”的概率為 ．
（4）（法1）：“至多有1人擊中目標”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，
故所求概率為：


．
（法2）：“至多有1人擊中目標”的對立事是“2人都擊中目標”，
故所求概率為
例 3.在一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作 假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率
解：分別記這段時間內開關 ， ， 能夠閉合為事 ， ， ．
由題意，這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響 根據相互獨立事的概率乘法公式，這段時間內3個開關都不能閉合的概率是


∴這段時間內至少有1個開關能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是
．
答：在這段時間內線路正常工作的概率是 ．
變式題1：如圖添加第四個開關 與其它三個開關串聯，在某段時間內此開關能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率
（ ）
變式題2：如圖兩個開關串聯再與第三個開關并聯，在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率
方法一：


方法二：分析要使這段時間內線路正常工作只要排除 開且 與 至少有1個開的情況

例 4.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內擊中敵機的概率為0.2．
（1）假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率；
（2）要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？
分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率
解:（1）設敵機被第k門高炮擊中的事為 (k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機的事為 ．
∵事 ， ， ， ， 相互獨立，
∴敵機未被擊中的概率為
=

∴敵機未被擊中的概率為 ．
（2）至少需要布置 門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：
敵機被擊中的概率為1-
∴令 ，∴
兩邊取常用對數，得
∵ ，∴
∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機
點評：上面例1和例2的解法，都是解應用題的逆向思考方法 采用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便

四、堂練習：
1．在一段時間內，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內至少有1人去此地的概率是( )

2．從甲口袋內摸出1個白球的概率是 ，從乙口袋內摸出1個白球的概率 是 ，從兩個口袋內各摸出1個球，那么 等于（ ）
2個球都是白球的概率 2個球都不是白球的概率
2個球不都是白球的概率 2個球中恰好有1個是白球的概率
3．電燈泡使用時間在1000小時以上概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是（ ）
0.128 0.096 0.104 0.384
4．某道路的 、 、 三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45 秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是 （ ）

5．（1）將一個硬幣連擲5次，5次都出現正面的概率是 ；
（2）甲、乙兩個氣象臺同時作天氣預報，如果它們預報準確的概率分別是0.8與0.7，那么在一次預報中兩個氣象臺都預報準確的概率是 ．
6．棉籽的發(fā)芽率為0.9，發(fā)育為壯苗的概率為0.6，
（1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無壯苗的概率為 ．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ．
7．一個工人負責看管4臺機床，如果在1小時內這些機床不需要人去照顧的概率第1臺是0.79，第2臺是0 .79，第3臺是0.80，第4臺是0.81，且各臺機床是否需要照顧相互之間沒有影響，計算在這個小時內這4臺機床都不需要人去照顧的概率.
8．制造一種零，甲機床的廢品率是0.04，乙機床的廢品率是0.05．從它們制造的產品中各任抽1，其中恰有 1廢品的概率是多少？
9 ．甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？
答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)
6.(1) , (2) ,
7. P=
8. P=
9. 提示：
五、小結 ：兩個事相互獨立，是指它們其中一個事的發(fā)生與否對另一個事發(fā)生的概率沒有影響 一般地，兩個事不可能即互斥又相互獨立，因為互斥事是不可能同時發(fā)生的，而相互獨立事是以它們能夠同時發(fā)生為前提的 相互獨立事同時發(fā)生的概率等于每個事發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事的概率和也是不同的
六、后作業(yè)：本58頁練習1、2、3 第60頁 習題 2. 2A組4. B組1
七、板書設計（略）
八、教學反思：
1. 理解兩個事相互獨立的概念。
2. 能進行一些與事獨立有關的概率的計算。
3. 通過對實例的分析，會進行簡單的應用。

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