3.1.1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。
二．新課講授
1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度 隨時(shí)間 變化的函數(shù) 的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度 隨時(shí)間 變化的函數(shù) 的圖像．
運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？
通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1）運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度 隨時(shí)間 的增加而增加，即 是增函數(shù)．相應(yīng)地， ．
（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度 隨時(shí)間 的增加而減少，即 是減函數(shù)．相應(yīng)地， ．
2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．


如圖 3.3-3，導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線的斜率．

（ 圖 3.3-3）

在 處， ，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù) 在 附近單調(diào)遞增；
在 處， ，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù) 在 附近單調(diào)遞減．
結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在某個(gè)區(qū)間 內(nèi)，如果 ，那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果 ，那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
說明：（1）特別的，如果 ，那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．
3．求解函數(shù) 單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）確定函數(shù) 的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù) ；
（3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；
（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．
三．典例分析
例1．已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息：
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) ，或 時(shí)， ；
當(dāng) ，或 時(shí)，
試畫出函數(shù) 圖像的大致形狀．
解：當(dāng) 時(shí)， ，可知 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng) ，或 時(shí)， ；可知 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng) ，或 時(shí)， ，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”．
綜上，函數(shù) 圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．
例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．
（1） ； （2）
（3） ； （4）
解：（1）因?yàn)?，所以，

因此， 在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示．


（2）因?yàn)?，所以，
當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；
當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；
函數(shù) 的圖像如圖3.3-5（2）所示．
（3）因?yàn)?，所以，
因此，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示．
（4）因?yàn)?，所以 ．
當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) ；
當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) ；
函數(shù) 的圖像如圖3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生練



例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度 與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．
解：
思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？
一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
如圖3.3-7所示，函數(shù) 在 或 內(nèi)的圖像“陡峭”，
在 或 內(nèi)的圖像“平緩”．
例4．求證：函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)．
證明：因?yàn)?
當(dāng) 即 時(shí)， ，所以函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)．
說明：證明可導(dǎo)函數(shù) 在 內(nèi)的單調(diào)性步驟：
（1）求導(dǎo)函數(shù) ；
（2）判斷 在 內(nèi)的符號；
（3）做出結(jié)論： 為增函數(shù)， 為減函數(shù)．
例5．已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
解： ，因?yàn)?在區(qū)間 上是增函數(shù)，所以 對 恒成立，即 對 恒成立，解之得：
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．
說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則 ；若函數(shù)單調(diào)遞減，則 ”來求解，注意此時(shí)公式中的等號不能省略，否則漏解．
例6．已知函數(shù)y=x+ ，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解：y′=(x+ )′
=1－1?x－2=
令 ＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+ 的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+ 的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)
四．課堂練習(xí)
1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx
2．課本練習(xí)
五．回顧總結(jié)
（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（2）求解函數(shù) 單調(diào)區(qū)間

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