3.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調性
過程：
一．創(chuàng)設情景
函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質，從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用。
二．新課講授
1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度 隨時間 變化的函數(shù) 的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度 隨時間 變化的函數(shù) 的圖像．
運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？
通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度 隨時間 的增加而增加，即 是增函數(shù)．相應地， ．
（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度 隨時間 的增加而減少，即 是減函數(shù)．相應地， ．
2．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系．


如圖 3.3-3，導數(shù) 表示函數(shù) 在點 處的切線的斜率．

（ 圖 3.3-3）

在 處， ，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù) 在 附近單調遞增；
在 處， ，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù) 在 附近單調遞減．
結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
在某個區(qū)間 內，如果 ，那么函數(shù) 在這個區(qū)間內單調遞增；如果 ，那么函數(shù) 在這個區(qū)間內單調遞減．
說明：（1）特別的，如果 ，那么函數(shù) 在這個區(qū)間內是常函數(shù)．
3．求解函數(shù) 單調區(qū)間的步驟：
（1）確定函數(shù) 的定義域；
（2）求導數(shù) ；
（3）解不等式 ，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；
（4）解不等式 ，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．
三．典例分析
例1．已知導函數(shù) 的下列信息：
當 時， ；
當 ，或 時， ；
當 ，或 時，
試畫出函數(shù) 圖像的大致形狀．
解：當 時， ，可知 在此區(qū)間內單調遞增；
當 ，或 時， ；可知 在此區(qū)間內單調遞減；
當 ，或 時， ，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”．
綜上，函數(shù) 圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．
例2．判斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)間．
（1） ； （2）
（3） ； （4）
解：（1）因為 ，所以，

因此， 在R上單調遞增，如圖3.3-5（1）所示．


（2）因為 ，所以，
當 ，即 時，函數(shù) 單調遞增；
當 ，即 時，函數(shù) 單調遞減；
函數(shù) 的圖像如圖3.3-5（2）所示．
（3）因為 ，所以，
因此，函數(shù) 在 單調遞減，如圖3.3-5（3）所示．
（4）因為 ，所以 ．
當 ，即 時，函數(shù) ；
當 ，即 時，函數(shù) ；
函數(shù) 的圖像如圖3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生練



例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度 與時間 的函數(shù)關系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．
解：
思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？
一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
如圖3.3-7所示，函數(shù) 在 或 內的圖像“陡峭”，
在 或 內的圖像“平緩”．
例4．求證：函數(shù) 在區(qū)間 內是減函數(shù)．
證明：因為
當 即 時， ，所以函數(shù) 在區(qū)間 內是減函數(shù)．
說明：證明可導函數(shù) 在 內的單調性步驟：
（1）求導函數(shù) ；
（2）判斷 在 內的符號；
（3）做出結論： 為增函數(shù)， 為減函數(shù)．
例5．已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍．
解： ，因為 在區(qū)間 上是增函數(shù)，所以 對 恒成立，即 對 恒成立，解之得：
所以實數(shù) 的取值范圍為 ．
說明：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增，則 ；若函數(shù)單調遞減，則 ”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．
例6．已知函數(shù)y=x+ ，試討論出此函數(shù)的單調區(qū)間.
解：y′=(x+ )′
=1－1?x－2=
令 ＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+ 的單調增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+ 的單調減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)
四．課堂練習
1．求下列函數(shù)的單調區(qū)間
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx
2．課本練習
五．回顧總結
（1）函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
（2）求解函數(shù) 單調區(qū)間

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