2．3．2離散型隨機(jī)變量的方差
目標(biāo)：
知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。
過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”， 以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差 。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化功能與人價(jià)值。
重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
教學(xué)難點(diǎn)：比較兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題
教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀 。
教學(xué)設(shè)想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差 。
授類型：新授
時(shí)安排：2時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析：
數(shù) 學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中取值的平均值，所以又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值．今天，我們將對隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度進(jìn)行研究．其實(shí)在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差.
回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù) ， ，…， 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均值 得差的平方分別是 ， ，…， ，那么 ＋ ＋…＋
叫做這組數(shù)據(jù)的方差
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示
2. 離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量
3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出
5. 分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.二項(xiàng)分布:ξ～B(n，p)，并記 ＝b(k；n，p)．
ξ01…k…n
P

…
…

8.幾何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
ξ123…k…
P
…
9.數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱 … … 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
　　10. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
11 平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令 … ，則有 … ， … ，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值
12. 期望的一個(gè)性質(zhì):
13.若ξ B（n,p），則Eξ=np
二、講解新：
1. 方差: 對于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，… ，且取這些值的概率分別是 ， ，…， ，…，那么,
＝ ＋ ＋…＋ ＋…
稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的 是隨機(jī)變量ξ的期望．
2. 標(biāo)準(zhǔn)差: 的算術(shù)平方根 叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作 ．
3.方差的性質(zhì)：（1） ；（2） ；
（3）若ξ～B(n，p)，則 np(1-p)
4.其它：
⑴隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
⑵隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；
⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛
三、講解范例：
例1．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X 的分布列為
ξ123456

從而

例2．有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：
甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800
獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000
獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.3 0.20.1
根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？
解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
= 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ;
EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因?yàn)镋X1 =EX2, DX 1<DX2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．

例3．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ12…n
P

…

求Dξ
解：（略） ,
例4．已知離散型隨機(jī)變量 的概率分布為

1234567

P

離散型隨機(jī)變量 的概率分布為

3．73．83．944．14．24．3
P

求這兩個(gè)隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差
解： ；
；
；
=0.04, .
點(diǎn)評：本題中的 和 都以相等的概率取各個(gè)不同的值，但 的取值較為分散， 的取值較為集中． ， ， ，方差比較清楚地指出了 比 取值更集中．
＝2， =0.02，可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差
例5．甲、乙兩射手在同一條下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為 0.4,0.2,0.24 用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平
解：
+（10-9） ；
同理有
由上可知， ， 所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．
點(diǎn)評：本題中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同． =9，這時(shí)就通過 =0.4和 =0.8比較 和 的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況
例6．A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：
A機(jī)床B機(jī)床
次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123
概率P0.70.20.060 .04概率P0.80.060.040.10
問哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好
解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它們的期望相同，再比較它們的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.
四、堂練習(xí)：
1 .已知 ，則 的值分別是（ ）
A． ；　　B． ；　　C． ；　　D．
答案：1.D
2 . 一盒中裝有零12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望．
分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會(huì)發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事．
解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3
當(dāng)ξ=0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=0）=
當(dāng)ξ=1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=1）=
當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則
P（ξ=2）=
當(dāng)ξ=3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1% ，從中任意地連續(xù)取出200商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξ B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算
解：因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以ξ B（200，1%） 因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4. 設(shè)事A發(fā)生的概率為p，證明事A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4
分析：這是一道純數(shù)學(xué)問題．要求學(xué)生熟悉隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論
證明：因?yàn)棣嗡�有可能取的值�?，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
則 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
5. 有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度．在使用時(shí)要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好
分析： 兩個(gè)隨機(jī)變量ξA和ξ B&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個(gè)不同的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，12 0，125， 130，135；ξB取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不一定正確，需要通過計(jì)算證明我們猜想的正確性
解：先比較ξA與ξB的期望值，因?yàn)?br> EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因?yàn)?br> DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.
所以，DξA < DξB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好
6. 在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？
分析：這是同學(xué)們身邊常遇到的現(xiàn)實(shí)問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運(yùn)彩票等等．一般說，出臺(tái)各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時(shí)也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎(jiǎng)品方面的費(fèi)用
解：設(shè)一張彩票中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100 依題
意，可得ξ的分布列為
ξ0525100
P

答：一張彩票的合理價(jià)格是0．2元．
五、小結(jié) ：⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可．
⑵對于兩個(gè)隨機(jī)變量 和 ，在 和 相等或很接近時(shí)，比較 和
，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要
六、后作業(yè)： P69練習(xí)1,2,3 P69 A組4 B組1,2
1.設(shè) ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p
解：由二次分布的期 望與方差性質(zhì)可知E =np D = np（1－p）
∴ ∴
2.已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布即 ~B(6、 )求b (2；6， )
解：p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 和 ，已知 和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）


123
pA 0.10.6

123
p0.3 b0.3

試分析甲、乙技術(shù)狀況
解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
∴E =2.3 , E =2.0
D =0.81 , D =0.6
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：
①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；
④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出 、 .若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可．
⑵對于兩個(gè)隨機(jī)變量 和 ，在 和 相等或很接近時(shí)，比較 和 ，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要

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