§1.1 正弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握正弦定理的內(nèi)容;2. 掌握正弦定理的證明方法;3. 會運用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題.
學(xué)習(xí)過程 一、前準(zhǔn)備試驗:固定 ABC的邊CB及 B,使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動.
思考: C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
顯然,邊AB的長度隨著其對角 C的大小的增大而 .能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出?
二、新導(dǎo)學(xué)※ 學(xué)習(xí)探究探究1:在初中,我們已學(xué)過如何解直角三角形,下面就首先探討直角三角形中,角與邊的等式關(guān)系. 如圖,在Rt ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義,有 , ,又 , 從而在直角三角形ABC中, .
探究2:那么對于任意的三角形,以上關(guān)系式是否仍然成立?
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:當(dāng) ABC是銳角三角形時,設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,有CD= ,則 , 同理可得 , 從而 . 類似可推出,當(dāng) ABC是鈍角三角形時,以上關(guān)系式仍然成立.請你試試導(dǎo).新知:正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的 的比相等,即 .
試試:(1)在 中,一定成立的等式是( ).A. B. C. D. (2)已知△ABC中,a=4,b=8,∠A=30°,則∠B等于 .
[理解定理](1)正弦定理說明同一三角形中,邊與其對角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù)k使 , , ;(2) 等價于 , , .(3)正弦定理的基本作用為:①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,如 ; .②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值,如 ; .(4)一般地,已知三角形的某些邊和角,求其它的邊和角的過程叫作解三角形.
※ 典型例題例1. 在 中,已知 , , cm,解三角形.
變式:在 中,已知 , , cm,解三角形. 例2. 在 .
變式:在 .
三、總結(jié)提升※ 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 正弦定理: 2. 正弦定理的證明方法:①三角函數(shù)的定義,還有 ②等積法,③外接圓法,④向量法.3.應(yīng)用正弦定理解三角形:①已知兩角和一邊;②已知兩邊和其中一邊的對角.
※ 知識拓展 ,其中 為外接圓直徑. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( ). A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差※ 當(dāng)堂檢測(時量:5分鐘 滿分:10分)計分:1. 在 中,若 ,則 是( ).A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形2. 已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,則a∶b∶c等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ D.2∶2∶ 3. 在△ABC中,若 ,則 與 的大小關(guān)系為( ).A. B. C. ≥ D. 、 的大小關(guān)系不能確定4. 已知 ABC中, ,則 = .5. 已知 ABC中, A , ,則= . 后作業(yè) 1. 已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B= ,解此三角形.
2. 已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求實數(shù)k的取值范圍為.
§1.2 余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握余弦定理的兩種表示形式;2. 證明余弦定理的向量方法;3. 運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.
學(xué)習(xí)過程 一、前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1:在一個三角形中,各 和它所對角的 的 相等,即 = = .
復(fù)習(xí)2:在△ABC中,已知 ,A=45,C=30,解此三角形.
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