人教版高中數(shù)學(xué)選修系列：4.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算(備課資料)
備課資料
(一)補(bǔ)充例題?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，說明z一定是一個(gè)常數(shù)，由已知所給的條件可觀察出，實(shí)質(zhì)上是通過復(fù)合函數(shù)的求法建立以z為變量的復(fù)數(shù)方程來求解z.?
解：∵f(z)=2z+ -3i,?
∴f( +i)=2( +i)+ -3i??
=2 +z-2i,?
又f( +i)=6-3i,?
∴2 +z-2i=6-3i,即2 +z=6-i.?
設(shè)z=a+bi(a、b∈R),則將 =a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解題回顧：本題是牽涉面較廣的一道題，我們在學(xué)習(xí)過程中，一定要注意知識之間的橫、縱聯(lián)系.?
［例2］已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2= ,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可設(shè)出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根據(jù)｜z2｜=1又得出一實(shí)數(shù)方程，聯(lián)立即可求解.?
解法一：設(shè)z1=a+bi(a、b∈R),則a2+b2=1.①?
∵z1+z2= ,?
∴z2= -a+( -b)i.?
∵｜z2｜=1,∴ ,?
即a+ b=1.②?
將a=1- b代入①,解得b=0或 .?
將b=0代入②得a=1;?
將 代入②得 .?
∴ 或 .?
分析二：從幾何角度入手分析這個(gè)題，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所對應(yīng)的點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上.再結(jié)合z1+z2實(shí)部、虛部的特殊性不難從圖中直接觀察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在

圖4-5
單位圓上，如圖,由z1+z2= + ,不難找出相應(yīng)點(diǎn)為Z.又因z1+z2實(shí)部是 ,故圖中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2對應(yīng) ，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即 或
解題回顧：（1）對本題的解法一，若是設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,則a2+b2=1,c2+d2=1,再根據(jù)z1+z2= 又得兩個(gè)方程，這樣，相當(dāng)于解一個(gè)四元二次方程，變量設(shè)的太多，不利于解題，所以我們在解題時(shí)，注意巧設(shè)，盡量減少變量.?
(2)解法二由復(fù)數(shù)幾何意義進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解，是一種很重要的思維方法.?
［例3］（1）復(fù)數(shù)z滿足｜z+5-12i｜=3,求z的軌跡；?
(2)復(fù)數(shù)z滿足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的軌跡；?
(3)已知｜z｜=2,試求z+3-4i對應(yīng)點(diǎn)的軌跡.?
（1）解：由｜z-z0｜意義可知｜z+5-12i｜=3表示動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)Z0距離為定值3，故z軌跡為以（-5+12i）對應(yīng)點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓.?
(2)解：本題由方程直接看不出z滿足的條件，故可設(shè)
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程為
(x-4)2+(y-4)2=8.故z軌跡為?以(4,4)為圓心，22為半徑的圓.?
(3)解法一：設(shè)ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴ 即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z軌跡為以(3,-4)為圓心，2為半徑的圓.?
解法二：設(shè)ω=z+3-4i?,?
則z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z軌跡為以3-4i對應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.?
解題回顧：（1）本題屬于求軌跡問題.方法與我們解析幾何中求軌跡方法一樣，有直接法、代入法和消參法.?
（2）對于（3）題的兩種解法均為代入法，從上述解法可看出，有時(shí)就用復(fù)數(shù)直接代入還是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的幾何意義可知，只需弄清z的軌跡即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z軌跡如圖46,以z0=3-4i為圓心，2為半徑的圓.?

圖4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性質(zhì)｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,當(dāng)且僅當(dāng)z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)時(shí)，等號成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴ ，?
即當(dāng) 時(shí)，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,當(dāng)且僅當(dāng)z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)時(shí)，等號成立，即 .?
∴當(dāng) 時(shí)，｜z｜min=3.?
解題回顧：本題可拓寬到求｜z-z1｜的最值，相當(dāng)于在圓上求一點(diǎn)到z1對應(yīng)點(diǎn)距離的最值，此時(shí)，不論z1點(diǎn)與圓位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此問題實(shí)質(zhì)上是在圓上求一點(diǎn)P，使P到兩點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離和最大.此問題，若用圓的參數(shù)方程解時(shí)較繁，此時(shí)可利用向量加、減法幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為（1）來求解.?

圖4-7
解：如圖,設(shè)A（1，0），B（-1，0），在圖上任取一點(diǎn)P，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形，則由模性質(zhì)得?
｜PA｜2+｜PB｜2
= ［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
= ［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值為100，最小值為20.?
解題回顧：本題可拓寬到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.設(shè)z1、z2對應(yīng)點(diǎn)仍為A、B，線段AB中點(diǎn)為C，則｜z-z1｜2+｜z-z2｜2= ［｜AB｜+4｜PC｜2］,問題轉(zhuǎn)化為在圖上求點(diǎn)P到點(diǎn)C的最大、最小值.?
（二）名篇欣賞?
對挖掘數(shù)學(xué)課本知識的實(shí)踐與思考?
方均斌（浙江溫州師范學(xué)院　325027）?
一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的教師，應(yīng)該對挖掘課本知識非常重視.筆者經(jīng)常在各種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志上看到諸如《談?wù)n本某某知識的挖掘》《要重視課本知識的挖掘》《要挖掘數(shù)學(xué)知識的思想方法》等等之類的文章，筆者非常同意這些作者的觀點(diǎn).但在如何把握挖掘數(shù)學(xué)知識的度，挖掘的過程中應(yīng)注意的事項(xiàng)以及挖掘課本知識的策略方面，談得不多.為此，筆者想借貴刊一角談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)想法，供大家參考.?
1.“典型、適時(shí)、有度”地挖掘　充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性?
1.1 “挖”得典型減輕負(fù)擔(dān)?
要“挖”得典型，“挖”是為了教師今后“不挖”，重在教會(huì)學(xué)生“如何挖”.數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)形成一門體系龐大的科學(xué)，就算經(jīng)過長期實(shí)踐和論證而納入中學(xué)生必須學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，如果教師處理不當(dāng) ，也會(huì)讓學(xué)生負(fù)擔(dān)過重而苦不堪言.例如對每一個(gè)定理、公式都進(jìn)行推廣和變形的挖掘,由于這種挖掘都是教師一廂情愿下進(jìn)行的，對學(xué)生來說是被動(dòng)的，這些經(jīng)教師挖掘出來的內(nèi)容，將成為學(xué)生的一種新的負(fù)擔(dān).挖掘課本知識的根本目的在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的探索能力和創(chuàng)新精神，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生掌握對問題采用諸如歸納、類比、演繹、映射與反演、普遍化和特殊化、開放性處理以及條件的變更等挖掘知識的方法,而并非是讓學(xué)生掌握挖掘出來的知識，否則將增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).因此，挖掘課本知識要選擇典型的內(nèi)容.那么到底哪些內(nèi)容需要挖掘，哪些知識不需要挖掘呢？一般說來，這樣的幾個(gè)內(nèi)容需要挖掘：（1）方法典型，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力效果較好的內(nèi)容；（2）思想蘊(yùn)涵豐富的內(nèi)容；（3）實(shí)際應(yīng)用較廣的內(nèi)容；（4）對后續(xù)知識學(xué)習(xí)作用較大的內(nèi)容.當(dāng)然，教師應(yīng)著重考慮課程標(biāo)準(zhǔn)（或大綱）范圍內(nèi)的內(nèi)容.?
［例1］判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（高中數(shù)學(xué)第一冊（上）試驗(yàn)修訂本?必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
該題教師要不要對奇偶函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算后的函數(shù)奇偶性判斷的一般規(guī)律進(jìn)行挖掘？筆者認(rèn)為，需要挖掘.因?yàn)橥诰蜻^程可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一般化的思想方法，而且學(xué)生也容易得出結(jié)論，對提高判斷函數(shù)的奇偶性的速度大有好處.但是要讓學(xué)生記住“非空公共定義域內(nèi)非零奇函數(shù)與非零偶函數(shù)的和為非奇非偶函數(shù)” “非空公共定義域內(nèi)奇函數(shù)和為奇函數(shù)”等等，恐怕就可能增加學(xué)生的不必要負(fù)擔(dān)了.其實(shí)學(xué)生如果記不住，只要簡單推導(dǎo)一下就可以了.至于是否在講解該例時(shí)就馬上進(jìn)行挖掘，恐怕還為時(shí)過早.筆者認(rèn)為，應(yīng)該在學(xué)生完成習(xí)題2.3第7題后的作業(yè)評講或在小結(jié)課時(shí)進(jìn)行總結(jié)和挖掘較好.如何把握好挖掘課本知識的時(shí)機(jī)是本文要討論的另一個(gè)話題.?
［例2］求下列兩條直線的交點(diǎn)：（高中數(shù)學(xué)第二冊（上）修訂本?必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教師感覺每一次都要求兩條直線的交點(diǎn)較麻煩，干脆將一般化的方程組：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解 告訴學(xué)生，讓學(xué)生記住結(jié)論.雖然這樣做可以避免每一次都要解二元一次方程組的麻煩,但是增加了學(xué)生記憶公式的負(fù)擔(dān)（因?yàn)樵摴�式容易記混，盡管有些教師采用行列式幫助學(xué)生記憶），而且會(huì)削弱學(xué)生解一次方程組的變形能力.當(dāng)然，學(xué)生如果自己產(chǎn)生挖掘的需要，那就另當(dāng)別論了.教師應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生去挖掘，不要以高考不作要求為由，阻止學(xué)生對課本知識的挖掘.因?yàn)閷W(xué)生探索新知識的興趣和欲望是至關(guān)重要的.只要教師正確引導(dǎo)，相信一定能培養(yǎng)出具有強(qiáng)烈好奇心和探索能力的創(chuàng)新人才.?
1.2　把握時(shí)機(jī)　恰到好處?
判斷哪些知識需要挖掘，需要較多的經(jīng)驗(yàn)積累，而如何在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行挖掘，更需要教師有一個(gè)實(shí)踐的過程.一般說來，剛傳授的新知識不宜馬上進(jìn)行挖掘，需要學(xué)生有一個(gè)接觸和熟悉新知識的過程.這些新知識對學(xué)生來說是一片未開發(fā)的處女地，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和熟悉新知識的過程中去感悟，給學(xué)生一點(diǎn)自由的開發(fā)時(shí)間和空間，教師最多只能做一些暗示、表揚(yáng)等一些外圍工作.此外，教師應(yīng)充分感悟教材編者的意圖，課本中的例題、練習(xí)、習(xí)題等陸續(xù)重復(fù)出現(xiàn)的類似問題和結(jié)論，很可能是編者有意識地安排并暗示學(xué)生進(jìn)行挖掘的內(nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)能力.教師切勿在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)或在學(xué)習(xí)中途就一挖到底，來個(gè)趕盡殺絕！?
［例3］如何處理以下來自教材（高中數(shù)學(xué)第二冊（上）試驗(yàn)修訂本?必修）的類題？?
1.求證： + <2 .（P12例6）?
2.求證：（1） + <4；?
(2) > -2.(P17習(xí)題6.3第4題)?
3.已知a≥3,求證： - > - .(P17習(xí)題6.3第5題)?
4.已知a>b>0,求證： - < .(P30復(fù)習(xí)參考題六A組第6題)?
5.求證： + >1+ .(P30復(fù)習(xí)參考題六A組第7題)?

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