題目 第五章平面向量 線段的定比分點(diǎn)與平移
高考要求
掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式 并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 線段的定比分點(diǎn)定義：設(shè)P1,P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1,P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使 ， 叫做點(diǎn)P分有向線段 所成的比 當(dāng)點(diǎn)P在線段 上時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)P在線段 或 的延長(zhǎng)線上時(shí)， <0
2 定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式：點(diǎn)P分有向線段 所成的比是 ，
則 （O為平面內(nèi)任意點(diǎn)）
3 定比分點(diǎn)的坐標(biāo)形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)
4 中點(diǎn)坐標(biāo)公式: 當(dāng) =1時(shí)，分點(diǎn)P為線段 的中點(diǎn)，即有
5 的重心坐標(biāo)公式：
6 圖形平移的定義:設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將圖上的所有點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，得到圖形F’，我們把這一過程叫做圖形的平移
7 平移公式: 設(shè)點(diǎn) 按向量 平移后得到點(diǎn) ，則 ＝ + 或 ，曲線 按向量 平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：
這個(gè)公式叫做點(diǎn)的平移公式，它反映了圖形中的每一點(diǎn)在平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系
題型講解
例1 已知點(diǎn) ，線段 上的三等分點(diǎn)依次為 、 ，求 、 ，點(diǎn)的坐標(biāo)以及 、 分 所成的比
解：設(shè) 、 ，
則 ，
∴
，即
， ，即
由 ，得： ，∴ ；
由 ，得： ，∴ ；
點(diǎn)評(píng):定比是根據(jù) 求得的,必須搞清起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn) 順序不可搞錯(cuò)
例2 已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,5),B(─2,4),C(─6,─4),BC邊上有一點(diǎn)M，使ΔABM的面積等于ΔABC面積的1/4 求線段AM的長(zhǎng)度
分析：關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，而ΔABC和ΔABC共用∠B和邊AB 把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為它們相對(duì)應(yīng)的邊的比，再轉(zhuǎn)化為M分 的比λ，這是解決此問題的關(guān)鍵
解：由 = ,知 ,
而M是 的內(nèi)分點(diǎn)，故λ= ,
由公式求得M(─3,2) ∴AM=5
例3（1）把點(diǎn)A(3,5)按向量 平移，求平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’的坐標(biāo)
（2）把函數(shù) 的圖象按向量 平移得F’，求F’的函數(shù)解析式
解：（1）設(shè)A’(x,y)，根據(jù)平移坐標(biāo)公式得，得 得A’(7,10)
（2）設(shè)P (x,y)為F上的任意一點(diǎn)，它在F’上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P’(x’,y’)，
則 ，即
代入 中，得到
即
所以F’的函數(shù)解析式為
點(diǎn)評(píng)：正確選擇平移公式，強(qiáng)化代入轉(zhuǎn)移去思想
例4 是否存在這樣的平移，使拋物線： 平移后過原點(diǎn)，且平移后的拋物線的頂點(diǎn)和它與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為 ，若不存在，說明理由；若存在，求出函數(shù)的解析式
解：假設(shè)存在這樣的平移 ，
由平移公式 即
代入 得 ，
即平稱后的拋物線為 ，頂點(diǎn)為
由已知它過原點(diǎn)得： ①
令 ，求得 因此它在 軸上截得的弦長(zhǎng)為
據(jù)題意： ，∴ 代入①
得
故存在這樣的平移 或
當(dāng) 時(shí)，平移后解析式為 ；
當(dāng) 時(shí)，平移后解析式
點(diǎn)評(píng)：確定平移向量一般是配方法和待定系數(shù)法，此題采用待定系數(shù)法
例5 設(shè)函數(shù) 試根據(jù)函數(shù) 的圖象
⑴作出 的圖象，并寫出變換過程；
⑵ 的圖象是中心對(duì)稱圖形嗎？
⑶寫出 的單調(diào)區(qū)間
解：⑴令 ，化簡(jiǎn)得 ，
即
又令 得 ，
由平移公式知，由 的圖象按向量 平移，可得 的圖象，反之，由 的圖象按向量 平移，可得到 的圖象，即，將 的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，便得到 的圖象
⑵由圖知， 的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為
⑶單調(diào)減區(qū)間為 和
例6 已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ΔABC的內(nèi)心I坐標(biāo)
解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理結(jié)合定比分點(diǎn)的概念解法相當(dāng)簡(jiǎn)潔
設(shè)∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，
則λ=
由兩點(diǎn)間的距離公式可求出c=AB= ,
類似的可求出CA(設(shè)為b)和BC(設(shè)為a),
∴由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得I(x,y)為：
例7 定點(diǎn)A(3,0)為圓x2+y2=1外一點(diǎn),P為圓上的動(dòng)點(diǎn),∠POA的平分線交PA于Q 求Q點(diǎn)的軌跡方程
分析：角平分線條件的轉(zhuǎn)化，是本題的關(guān)鍵 設(shè)Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，列參數(shù)方程
解：設(shè)Q(x,y),P(x1,y1),
點(diǎn)Q分 的比為AQ/QP=OA/OP=3，
∴x= , y= ?x1=4x/3─1, y1=4y/3,
代入 =1化簡(jiǎn)得: (x─3/4)2+y2=9/16
點(diǎn)評(píng)：本題巧妙運(yùn)用了定比分點(diǎn)的概念，并和角平分線性質(zhì)定理結(jié)合起來,要認(rèn)真體會(huì)并在解題中根據(jù)條件靈活運(yùn)用定比分點(diǎn)的概念
小結(jié)：
1 運(yùn)用有向線段的定比分點(diǎn)公式時(shí)，應(yīng)注意有向線段的起點(diǎn)及終點(diǎn)的位置及“內(nèi)分”，“外分”的不同特點(diǎn) P在直線P1P2上的位置與λ的值是一一對(duì)應(yīng)的 具體求λ或定比分點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要注意根據(jù)給定條件利用平面幾何的主要結(jié)論 比如平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等
2 使用平移公式時(shí)，要注意：點(diǎn)的平移時(shí)，給定平移向量由舊標(biāo)求新標(biāo)用公式 ；由新標(biāo)求舊標(biāo)用公式 圖形平移時(shí)，給定平稱向量，由舊解析式求新解析式，用式子 代入舊式整理得到；由新解析式求舊解析式，用公式 代入新式整理得到
3 直角坐標(biāo)系中通過坐標(biāo)平移，曲線方程的次數(shù)不變 曲線的形狀大小不變，變化的只是曲線和坐標(biāo)點(diǎn)的相互位置關(guān)系與曲線方程的形式 某些曲線方程可以通過化簡(jiǎn)給我們的研究曲線帶來方便
學(xué)生練習(xí)
1 已知點(diǎn)A分有向線段 的比為2，則在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A 點(diǎn)C分 的比是- ?B 點(diǎn)C分 的比是-3?
C 點(diǎn)C分 的比是- ?D 點(diǎn)A分 的比是2
2 已知兩點(diǎn)P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），點(diǎn)P（－ ，ｙ）分有向線段 所成的比為λ，則λ、ｙ的值為（ ）
A － ，８ ?B ，－８? ?C － ，－８ ? D ４，
3 △ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）
A (2，-7) ?B (-7，2)? C (-3，-5) ?D (-5，-3)
4 已知點(diǎn)A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一條直線上，那么x=
5 △ABC的頂點(diǎn)A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為
6 已知M為△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且Ｓ△ＡＭＣ＝ Ｓ△ＡＢＣ，則M分 所成的比為
7．ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),則C點(diǎn)的坐標(biāo)是
8 若點(diǎn)P分 所成的比為2/3, 則點(diǎn)A分 的比是 ,B分 的比是
9．已知點(diǎn)P分 的比為λ（λ≠0),則點(diǎn)P分 的比為 ,點(diǎn)B分 的比為
10．已知A(x,5),B(─2,y),直線AB上的點(diǎn)C(1,1)使得AC=2BC,則x= y=
11 已知點(diǎn)A(-1,-4)、B(5,2)，線段AB上的三等分點(diǎn)依次為P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２點(diǎn)的坐標(biāo)以及A、B分 所成的比λ．
12 過P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直線與一次函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)P，求P分 所成的比值 ??????
13 已知平行四邊形ABCD一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,1)，一組對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)分別為M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) ???
參考答案：1 D 2 C 3 A 4 2或 5 (8,-4) 6
7．(5,3) 8 (─2/5)，(─5/3) 9． (1/λ)，(─λ─1)
10．(7或─5); (─1或3) (1)由AC=2BC,則λ=AC/CB有兩個(gè)值:2和─2, λ=2時(shí)，x=7,y=─1; λ=─2時(shí)，x=─5,y=3 (2) λ用坐標(biāo)計(jì)算的計(jì)算公式
11 P1(1,-2),P2(3,0),A、B分 所成的比λ1、λ2分別為- ,-2
12 13 Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?


課前后備注

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