2.1 變化的快慢與變化率
過(guò)程：
一、引入：
1、情境設(shè)置：（圖片）巍峨的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊(duì)員兩幅陡峭程度不同的圖片
2、問(wèn)題：當(dāng)陡峭程度不同時(shí)，登山隊(duì)員的感受是不一樣的，如何用數(shù)學(xué)來(lái)反映山勢(shì)的
陡峭程度，給我們的登山運(yùn)動(dòng)員一些有益的技術(shù)參考呢？
3、引入：讓我們用函數(shù)變化的觀點(diǎn)來(lái)研討這個(gè)問(wèn)題。
二、例舉分析：
（一）登山問(wèn)題
例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點(diǎn),H是山頂,登山路線用y=f(x)表示



問(wèn)題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時(shí)，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？
分析：1、選取平直山路AB放大研究
若
自變量x的改變量：
函數(shù)值y的改變量：
直線AB的斜率：
說(shuō)明：當(dāng)?shù)巧秸咭苿?dòng)的水平距離變化量一定（ 為定值）時(shí)，垂直距離變化量（ ）越大，則這段山路越陡峭；
2、選取彎曲山路CD放大研究
方法：可將其分成若干小段進(jìn)行分析：如CD1的陡峭程度可用直線CD1的斜率表示。（圖略）
結(jié)論：函數(shù)值變化量（ ）與自變量變化量 的比值 反映了山坡的陡峭程度。各段的 不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在這段山路上的平均變化量不同。當(dāng) 越大，說(shuō)明山坡高度的平均變化量越大，所以山坡就越陡；當(dāng) 越小，說(shuō)明山坡高度的平均變化量小，所以山坡就越緩。
所以， ??高度的平均變化成為度量山的陡峭程度的量，叫做函數(shù)f(x)的平均變化率。
三、函數(shù)的平均變化率與應(yīng)用。
（一）定義：已知函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，
令 ；
。
則當(dāng) 時(shí)，比值
叫做函數(shù) 在 到 之間的平均變化率。
（二）函數(shù)平均變化率的應(yīng)用


例2. 某市2004年4月20日最高氣溫為33.4℃，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時(shí)間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無(wú)不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1℃，甚至超過(guò)了14.8℃．而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆。這是什么原因呢？原來(lái)前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”。


問(wèn)題：當(dāng)自變量t表示由3月18日開(kāi)始計(jì)算的天數(shù)，T表示氣溫，記函數(shù) 表示溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)，那么氣溫變化的快慢情況應(yīng)當(dāng)怎樣表示？
分析：如圖：1、選擇該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較， ，由此可知 ；
2、選擇該市2004年4月18日最高氣溫18.60C與4月20日33.40C進(jìn)行比較，
，由此可知
結(jié)論：函數(shù)值的平均變化率 反映了溫度變化的劇烈程度。
各段的 不同反映了溫度變化的劇烈程度不同，也就是氣溫在這段時(shí)間內(nèi)的平均變化量不同。當(dāng) 越大，說(shuō)明氣溫的平均變化量越大，所以升溫就越快；當(dāng) 越小，說(shuō)明氣溫的平均變化量小，所以升溫就越緩。
（三）課堂練習(xí)：
甲乙二人跑步路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖
（1）（2）所示， 試問(wèn)：（1）甲乙二人哪一個(gè)跑得快？
（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時(shí)，誰(shuí)跑得比較快


四、瞬時(shí)變化率以及應(yīng)用:
例3：已知函數(shù) ，分別計(jì)算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。
解：函數(shù) 的平均變化率計(jì)算公式為：
變化區(qū)間自變量改變量
平均變化率

（1，1.1）0.12.1
（1，1.01）0.012.01
(1,1.001)0.0012.001
(1,1.0001)0.00012.0001
………
　　結(jié)論：當(dāng)時(shí)間間隔越來(lái)越�。� 趨于０）時(shí)，平均變化率趨于常數(shù)２

　例4：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？
　　　解：自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是 （其中g(shù)是重力加速度）.
當(dāng) 時(shí)間增量 很小時(shí)，從3秒到（3＋ ）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.　
因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.
從3秒到（3＋ ）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：

從而， .
結(jié)論： 越小， 越接近29.4米/秒
當(dāng) 無(wú)限趨近于0時(shí)， 無(wú)限趨近于29.4米/秒.
（一）定義：
設(shè)函數(shù) 在 附近有定義，當(dāng)自變量在 附近改變 時(shí)，
函數(shù)值相應(yīng)地改變
如果當(dāng)時(shí)，平均變化率 趨近于一個(gè)常數(shù) ，
則數(shù)稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的瞬時(shí)變化率。
（二）函數(shù)瞬時(shí)變化率的應(yīng)用：
例：設(shè)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是： ，其中 是初速度，時(shí)間單位為ｓ，求：ｔ＝２ｓ時(shí)的瞬時(shí)速度（函數(shù)s(t)的瞬時(shí)變化率）。

五、課堂小結(jié)：


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