中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例
目標(biāo)：
１．知識(shí)與技能目標(biāo)：
（１）了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)中求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；
（２）通過(guò)對(duì)“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問(wèn)題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。
２．過(guò)程與方法目標(biāo)：
（１）改變解決問(wèn)題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問(wèn)題。
３．情感與價(jià)值目標(biāo)：
（１）通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；
（２）體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷。
重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的算法。
難點(diǎn)：體會(huì)算法案例中蘊(yùn)含的算法思想，利用它解決具體問(wèn)題。
教學(xué)方法：
通過(guò)典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過(guò)程，在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯
結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問(wèn)題、表達(dá)算法，并能將解決問(wèn)題的過(guò)程整理成程序框圖。
教學(xué)過(guò)程：　
教學(xué)
環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)　　　情境

引入新課引導(dǎo)學(xué)生回顧
人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活，生產(chǎn)和勞動(dòng)過(guò)程中，創(chuàng)造了整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，正負(fù)數(shù)及其計(jì)算，以及無(wú)限逼近任一實(shí)數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)方面，我國(guó)在宋，元之前也都處于世界的前列。我們?cè)谛�學(xué)，中學(xué)學(xué)到的算術(shù)，代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程的求根方法，都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的。更為重要的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問(wèn)題“算法化”。本章的內(nèi)容是算法，特別是在中國(guó)古代也有著很多算法案例，我們來(lái)看一下并且進(jìn)一步體會(huì)“算法”的概念。
教師引導(dǎo)，學(xué)生回顧。
教師啟發(fā)學(xué)生回憶小學(xué)初中時(shí)所學(xué)算術(shù)代數(shù)知識(shí)，共同創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。
通過(guò)對(duì)以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，使學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，并且向?qū)W生指明，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展“寓理于算”，不同于西方數(shù)學(xué)，在今天看仍然有很大的優(yōu)越性，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷。
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１．求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法
學(xué)生通常會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：
例１：求７８和３６的最大公約數(shù)
（１）利用輾轉(zhuǎn)相除法
步驟：
計(jì)算出７８ ３６的余數(shù)６，再將前面的除數(shù)３６作為新的被除數(shù)，３６ ６＝６，余數(shù)為０，則此時(shí)的除數(shù)即為７８和３６的最大公約數(shù)。
理論依據(jù)： ，得 與 有相同的公約數(shù)
（２）更相減損之術(shù)
指導(dǎo)閱讀課本P ----P ，總結(jié)步驟
步驟：
以?xún)蓴?shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即７８－３６＝４２；以差數(shù)４２和較小的數(shù)3６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即４２－３６＝６,再以差數(shù)６和較小的數(shù)３６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即３６－６＝３０,繼續(xù)這一過(guò)程,直到產(chǎn)生一對(duì)相等的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最大公約數(shù)
即，

理論依據(jù)：
由 ，得 與 有相同的公約數(shù)
算法：
輸入兩個(gè)正數(shù) ；
如果 ，則執(zhí)行 ，否則轉(zhuǎn)到 ；
將 的值賦予 ；
若 ，則把 賦予 ，把 賦予 ，否則把 賦予 ，重新執(zhí)行 ；
輸出最大公約數(shù)
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
while a<>b
if a>=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，分析研究，獨(dú)立的解決問(wèn)題。
教師巡視，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別指導(dǎo)。
由學(xué)生回答求最大公約數(shù)的兩種方法，簡(jiǎn)要說(shuō)明其步驟，并能說(shuō)出其理論依據(jù)。


由學(xué)生寫(xiě)出更相減損法和輾轉(zhuǎn)相除法的算法，并編出簡(jiǎn)單程序。
教師將兩種算法同時(shí)顯示在屏幕上，以方便學(xué)生對(duì)比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學(xué)生加以了解。數(shù)學(xué)教學(xué)要有學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式把要學(xué)的知識(shí)重新創(chuàng)造出來(lái)。這種再創(chuàng)造積累和發(fā)展到一定程度，就有可能發(fā)生質(zhì)的飛躍。在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間去觀察，分析，動(dòng)手實(shí)踐，從而主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，用學(xué)生非常熟悉的問(wèn)題為載體來(lái)講解算法的有關(guān)知識(shí)，，強(qiáng)調(diào)了提供典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過(guò)程，在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問(wèn)題、表達(dá)算法，并能將解決問(wèn)題的過(guò)程整理成程序框圖。為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，還適當(dāng)展示了將自然語(yǔ)言或程序框圖翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)
言的內(nèi)容。總的來(lái)說(shuō)，不追求形式上的嚴(yán)謹(jǐn)，通過(guò)案例引導(dǎo)學(xué)生理解相應(yīng)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
應(yīng)用
舉例例1 ：用等值算法（更相減損術(shù)）求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)。
（1）225，135 （2）98，280
例2：用輾轉(zhuǎn)相除法驗(yàn)證上例中兩數(shù)的最大公約數(shù)是否正確。學(xué)生練習(xí)，教師巡視檢查。
學(xué)生回答。鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解，用輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)雖然有些步驟較長(zhǎng)，但運(yùn)算簡(jiǎn)單。
體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應(yīng)用
舉例2．割圓術(shù)
魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”
即從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。
閱讀課本P ----P ，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，計(jì)算它的面積 ；
第二，逐步加倍圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，分別計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數(shù)（設(shè)為２m）為止，得到一列遞增的數(shù) ，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積 與相應(yīng)的面積 相加，得 ，這樣又得到一列遞增數(shù)： ， ， ，…， 。
第四，圓面積 滿(mǎn)足不等式　
估計(jì) 的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設(shè)圓的半徑為１，弦心距為 ，正 邊形的邊長(zhǎng)為 ，面積為 ，由勾股定理得
，

則
圖可知，正 邊形的面積等于正 邊形的面積加上 個(gè)等腰三角形的面積和，即
（ ）
利用這個(gè)遞推公式，可以得到正六邊形的面積為 ，
由于圓的半徑為１，所以隨著 的增大， 的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
for I=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)?2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2) ?2+(1-h)?2);
end
print(%io(2),n,s)學(xué)生閱讀課本，教師巡視注意個(gè)別指導(dǎo)，幫助學(xué)生識(shí)圖，分析。

教師概括割圓術(shù)的步驟，學(xué)生觀察圖形，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題并解答。
步驟較復(fù)雜，教師注意結(jié)合圖形幫助學(xué)生分析，理解。


通過(guò)教師分析的割圓術(shù)的步驟，又學(xué)生討論制定割圓術(shù)的算法，教師注意指導(dǎo)，適當(dāng)提示，引導(dǎo)學(xué)生出現(xiàn)算法中的遞推關(guān)系。

教師將算法顯現(xiàn)在屏幕上，又學(xué)生對(duì)應(yīng)寫(xiě)出簡(jiǎn)單的程序。


割圓術(shù)是從圓內(nèi)接六邊形開(kāi)始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。在但是要付出艱辛的勞動(dòng)，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術(shù)中的算法，即運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算機(jī)會(huì)迅速得到所求答案。



分析劉徽割圓術(shù)中的算法是難點(diǎn)所在，學(xué)生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學(xué)生一起總結(jié)割圓術(shù)的步驟，在此基礎(chǔ)上，又學(xué)生將所分析的步驟寫(xiě)為算法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法的核心是一般意義上的解決問(wèn)題策略的具體化。面臨一個(gè)問(wèn)題時(shí)，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)出來(lái)（畫(huà)出程序框圖，轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句），這個(gè)過(guò)程就是算法設(shè)計(jì)過(guò)程，這是一個(gè)思維的條理化、邏輯化的過(guò)程。


歸納小結(jié)1．求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損法；
2．割圓術(shù)的算法學(xué)生小結(jié)并相互補(bǔ)充，師生共同整理完善。學(xué)生學(xué)后反思總結(jié)，可以提高學(xué)生自己獲得知識(shí)的能力以及歸納概括能力。
課后作業(yè) 習(xí)題1―3 1，2
選作 習(xí)題1―3
鞏固所學(xué)知識(shí)，是學(xué)有余力的同學(xué)的創(chuàng)造性得到進(jìn)一步的發(fā)揮。


本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/70684.html

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