中國古代數(shù)學中的算法案例
目標：
１．知識與技能目標：
（１）了解中國古代數(shù)學中求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術的算法；
（２）通過對“更相減損之術”及“割圓術”的學習，更好的理解將要解決的問題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導“割圓術”的操作步驟。
２．過程與方法目標：
（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學思維轉變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學會借助實例分析，探究數(shù)學問題。
３．情感與價值目標：
（１）通過學生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；
（２）體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強愛國主義情懷。
重點與難點：
重點：了解“更相減損之術”及“割圓術”的算法。
難點：體會算法案例中蘊含的算法思想，利用它解決具體問題。
教學方法：
通過典型實例，使學生經歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯
結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。
教學過程：　
教學
環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
創(chuàng)設　　　情境

引入新課引導學生回顧
人們在長期的生活，生產和勞動過程中，創(chuàng)造了整數(shù)，分數(shù)，小數(shù)，正負數(shù)及其計算，以及無限逼近任一實數(shù)的方法，在代數(shù)學，幾何學方面，我國在宋，元之前也都處于世界的前列。我們在小學，中學學到的算術，代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程的求根方法，都是我國古代數(shù)學家最先創(chuàng)造的。更為重要的是我國古代數(shù)學的發(fā)展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問題“算法化”。本章的內容是算法，特別是在中國古代也有著很多算法案例，我們來看一下并且進一步體會“算法”的概念。
教師引導，學生回顧。
教師啟發(fā)學生回憶小學初中時所學算術代數(shù)知識，共同創(chuàng)設情景，引入新課。
通過對以往所學數(shù)學知識的回顧，使學生理清知識脈絡，并且向學生指明，我國古代數(shù)學的發(fā)展“寓理于算”，不同于西方數(shù)學，在今天看仍然有很大的優(yōu)越性，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增強愛國主義情懷。
閱讀
課本


探究
新知



１．求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的算法
學生通常會用輾轉相除法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)：
例１：求７８和３６的最大公約數(shù)
（１）利用輾轉相除法
步驟：
計算出７８ ３６的余數(shù)６，再將前面的除數(shù)３６作為新的被除數(shù)，３６ ６＝６，余數(shù)為０，則此時的除數(shù)即為７８和３６的最大公約數(shù)。
理論依據(jù)： ，得 與 有相同的公約數(shù)
（２）更相減損之術
指導閱讀課本P ----P ，總結步驟
步驟：
以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即７８－３６＝４２；以差數(shù)４２和較小的數(shù)3６構成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即４２－３６＝６,再以差數(shù)６和較小的數(shù)３６構成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即３６－６＝３０,繼續(xù)這一過程,直到產生一對相等的數(shù)，這個數(shù)就是最大公約數(shù)
即，

理論依據(jù)：
由 ，得 與 有相同的公約數(shù)
算法：
輸入兩個正數(shù) ；
如果 ，則執(zhí)行 ，否則轉到 ；
將 的值賦予 ；
若 ，則把 賦予 ，把 賦予 ，否則把 賦予 ，重新執(zhí)行 ；
輸出最大公約數(shù)
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
while a<>b
if a>=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學生閱讀課本內容，分析研究，獨立的解決問題。
教師巡視，加強對學生的個別指導。
由學生回答求最大公約數(shù)的兩種方法，簡要說明其步驟，并能說出其理論依據(jù)。


由學生寫出更相減損法和輾轉相除法的算法，并編出簡單程序。
教師將兩種算法同時顯示在屏幕上，以方便學生對比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學生加以了解。數(shù)學教學要有學生根據(jù)自己的經驗，用自己的思維方式把要學的知識重新創(chuàng)造出來。這種再創(chuàng)造積累和發(fā)展到一定程度，就有可能發(fā)生質的飛躍。在教學中應創(chuàng)造自主探索與合作交流的學習環(huán)境，讓學生有充分的時間和空間去觀察，分析，動手實踐，從而主動發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學的數(shù)學知識。

求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是本節(jié)課的一個重點，用學生非常熟悉的問題為載體來講解算法的有關知識，，強調了提供典型實例，使學生經歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。為了能在計算機上實現(xiàn)，還適當展示了將自然語言或程序框圖翻譯成計算機語
言的內容�？偟膩碚f，不追求形式上的嚴謹，通過案例引導學生理解相應內容所反映的數(shù)學思想與數(shù)學方法。
應用
舉例例1 ：用等值算法（更相減損術）求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)。
（1）225，135 （2）98，280
例2：用輾轉相除法驗證上例中兩數(shù)的最大公約數(shù)是否正確。學生練習，教師巡視檢查。
學生回答。鞏固所學知識，進一步加深對知識的理解，用輾轉相除法步驟較少，而更相減損術雖然有些步驟較長，但運算簡單。
體會我國古代數(shù)學中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應用
舉例2．割圓術
魏晉時期數(shù)學家劉徽，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”
即從圓內接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個算出這些內接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。
閱讀課本P ----P ，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內接正六邊形開始，計算它的面積 ；
第二，逐步加倍圓內接正多邊形的邊數(shù)，分別計算圓內接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數(shù)（設為２m）為止，得到一列遞增的數(shù) ，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積 與相應的面積 相加，得 ，這樣又得到一列遞增數(shù)： ， ， ，…， 。
第四，圓面積 滿足不等式　
估計 的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設圓的半徑為１，弦心距為 ，正 邊形的邊長為 ，面積為 ，由勾股定理得
，

則
圖可知，正 邊形的面積等于正 邊形的面積加上 個等腰三角形的面積和，即
（ ）
利用這個遞推公式，可以得到正六邊形的面積為 ，
由于圓的半徑為１，所以隨著 的增大， 的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
for I=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)?2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2) ?2+(1-h)?2);
end
print(%io(2),n,s)學生閱讀課本，教師巡視注意個別指導，幫助學生識圖，分析。

教師概括割圓術的步驟，學生觀察圖形，引導學生提出問題并解答。
步驟較復雜，教師注意結合圖形幫助學生分析，理解。


通過教師分析的割圓術的步驟，又學生討論制定割圓術的算法，教師注意指導，適當提示，引導學生出現(xiàn)算法中的遞推關系。

教師將算法顯現(xiàn)在屏幕上，又學生對應寫出簡單的程序。


割圓術是從圓內接六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個算出這些內接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。在但是要付出艱辛的勞動，現(xiàn)在有計算機，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術中的算法，即運算規(guī)律，計算機會迅速得到所求答案。



分析劉徽割圓術中的算法是難點所在，學生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學生一起總結割圓術的步驟，在此基礎上，又學生將所分析的步驟寫為算法，引導學生體會算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個問題時，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當?shù)姆绞奖磉_出來（畫出程序框圖，轉化為程序語句），這個過程就是算法設計過程，這是一個思維的條理化、邏輯化的過程。


歸納小結1．求最大公約數(shù)的輾轉相除法和更相減損法；
2．割圓術的算法學生小結并相互補充，師生共同整理完善。學生學后反思總結，可以提高學生自己獲得知識的能力以及歸納概括能力。
課后作業(yè) 習題1―3 1，2
選作 習題1―3
鞏固所學知識，是學有余力的同學的創(chuàng)造性得到進一步的發(fā)揮。


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