學案1 集合的概念與運算
一、前準備：
【自主梳理】
1．側面積公式： ， ， ， ， ， ．
2．體積公式： = ， ， ， ．
3．球 ： ， ．
4．簡單的組合體：
⑴正方體和球 正方體的邊長為 ，則其外接球的半徑為 ．
正方體的邊長為 ，則其內切球的半徑為 ．
⑵正四面體和球 正四面的邊長為 ，則其外接球的半徑為 ．
【自我檢測】
1．若一個球的體積為 ，則它的表面積為_______．
2．已知圓錐的母線長為2，高為 ，則該圓錐的側面積是 ．
3．若圓錐的母線長為3cm，側面展開所得扇形圓心角為 ，則圓錐的體積為 ．
4．在 中，若 ，則 的外接圓半徑 ，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體 中，若 兩兩垂直， ，則四面體 的外接球半徑 _____________________．
5．一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是 ，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是 ．
6．如圖，已知正三棱柱 的底面邊長為2 ，高位5 ，一質點自 點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達 點的最短路線的長為 ．
二、堂活動：
【例1】題：
（1）一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm 和25π cm ，則(1)圓臺的高
為 (2)截得此圓臺的圓錐的母線長為 ．
（2）若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為 ，則其外接球的表面積是　 　 .
（3）三棱柱的一個側面面積為 ，此側面所對的棱與此面的距離為 ，則此棱柱的體積為 ．
（4）已知三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，則已知三棱錐O－ABC體積的最大值是 ．
【例2】如圖所示，在棱長為2的正方體 中， 、 分別為 、 的中點．
（1）求證： //平面 ；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐 的體積．

【例3】如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=2，BD= 。
（1）求棱錐P-ABCD的體積；
（2）求點C到平面PBD的距離．

堂小結
（1）了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積公式；
（2）了解一些簡單組合體（如正方體和球，正四面體和球）；
（3）幾何體表面的最短距離問題------側面展開.

三、后作業(yè)
1．一個球的外切正方體的全面積等于 ，則此球的體積為 .
2．等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑與球的半徑相等，則等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為 ．
3．三個平面兩兩垂直，三條交線相交于 ， 到三個平面的距離分別為1、2、3，
則 = .
4．圓錐的全面積為 ，側面展開圖的中心角為60°，則該圓錐的體積為 .
5．如圖，三棱柱 的所有棱長均等于1，且 ，則該三棱柱的體積是 ．
6．如圖，已知三棱錐A—BCD的底面是等邊三角形，三條側棱長都等于1，且∠BAC＝30°，、N分別在棱AC和AD上，則 B＋N＋NB的最小值為 ．
7．如圖，在多面體 中，已知 是邊長為1的正方形，且 均為正三角形， ∥ ， =2，則該多面體的體積為 ．
8．已知正四棱錐 中， ，那么當該棱錐的體積最大時，則高為 ．
9．如圖，已知四棱錐 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， ．
（1）求證： 平面 ；
（2）求證： 平面 ；
（3）若 是 的中點，求三棱錐 的體積．

10．如圖，矩形 中， ⊥平面 ， ， 為 上的一點，且 ⊥平面 ， ，求三棱錐 的體積．

四、糾錯分析
錯題卡題 號錯 題 原 因 分 析

一、前準備：
【自主梳理】
1．
2．
3． 4
4．
【自我檢測】
1．12 2．2 3． 4． 5．6π 6．13
二、堂活動：
【例1】題
1．（1） 20 （2）3 （3） （4）
【例2】（Ⅰ）連結 ，在 中， 、 分別為 ， 的中點，則

（Ⅱ）

（Ⅲ） ， ，且 ，
， .
，
∴ ，即 . =
= .
【例3】解：（1）由 知四邊形ABCD為邊長是2的正方形，
,又PA 平面ABCD ， = .
（2）設點C到平面PBD的距離為 ，
PA 平面ABCD， = .
由條 ， .
由 .得 .
點C到平面PBD的距離為 .
三、后作業(yè)
1． 2．3：2 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．（1）證明： ，且 平面 ，∴ 平面 .
（2）證明：在直角梯形 中，過 作 于點 ，則四邊形 為矩形.
∴ .又 ，∴ .在Rt△ 中， ，
∴ ， . ∴ .
則 ， ∴ .
又 ， ∴ .
， ∴ 平面 .
（3）∵ 是 中點， ∴ 到面 的距離是 到面 距離的一半.
.
10．解：連結 ．可證三棱錐 中， 與底面 垂直，所以所求
體積為 ．

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