求數(shù)列中幾種類型的通項公式
制作：高二數(shù)學(xué)組
一、由遞推關(guān)系求通項公式
（1）遞推式為 = + 及 = （ 為常數(shù)）（可利用等差、等比數(shù)列來求）
例、⒈ 已知數(shù)列{ }滿足 = +2，且 =1，求 .
⒉ 已知數(shù)列{ }滿足 = ，且 =2，求 .

（2）遞推式為 = + ，（ 需可求和）
例、已知數(shù)列{ }滿足 = + ， =1，求 .

練習(xí) 已知數(shù)列{ }中， = ，且當(dāng) 時 ，求通項公式

(3) 遞推式為 = + （ 為常數(shù)）
例、已知數(shù)列{ }滿足 =3 +2，且 =1，求 .
簡解：法一、由已知得 =3 +2， =3 +2，相減得 - =3（ - ）即數(shù)列
{ - }是 =3的等比數(shù)列，所以 - =（ - ） 且 - =4，又 =3 +2，
代入可得 =2 -1
法二、由法一得{ - }是 =3的等比數(shù)列，則 - =4， - = 4 3， - = 4 ，…， - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4（1+3+ + +…+ ）= ，所以可得 =2 -1
法三、由遞推式 =3 + 2，得 + 1=3（ +1）即數(shù)列{ + 1}是公比為3的等比數(shù)列，且首項為 +1=2，所以 +1=2 ，即 =2 -1
練習(xí) 已知數(shù)列{ }滿足 =2 -1，且 =2，求 .

（4）遞推式為 = + （ 為常數(shù)）
例 已知數(shù)列{ }滿足 = + ，且 = ，求 .
(提示：兩邊同時除以 轉(zhuǎn)化為類型二來求)



練習(xí) 已知數(shù)列{ }滿足 =2 + ，且 =1，求 .


（5）遞推式為 =
例 在數(shù)列{ }中， =2， = ，求 .


練習(xí) 已知： =1， ，求 .


（6）遞推式為 = (可先求倒數(shù)，轉(zhuǎn)化成數(shù)列{ }來求)
例 已知數(shù)列{ }滿足 =1， ，求 .


（7）其他 例 已知數(shù)列{ }滿足： =1， ， （ ）令 。① 求證：數(shù)列{ }是等比數(shù)列，并求 ；②求 .

二、已知 之間的關(guān)系來求通項公式
利用公式 (n 2)，注意首項.
例 已知數(shù)列{ }滿足 = +1，求 .

練習(xí) 已知數(shù)列{ }的前n項和為 ，滿足 ，其中 ＞1，求數(shù)列{ }的通項公式。


三、已知 和 的關(guān)系求數(shù)列的通項公式
常用思路 1. 消 ，轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系，再求 （優(yōu)先考慮）；
2. 消 ，轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系，先求 ，再求 。
利用公式 (n 2)，注意首項.
例 已知數(shù)列{ }的前n項和為 ，若對任意的 ，都有 =2 -3 .
① 求數(shù)列{ }的首項 及遞推關(guān)系式 = ；②求通項公式 。




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