1．正弦定理
(1)形式一： =2R；
形式二： ； ； ；（角到邊的轉(zhuǎn)換）
形式三： ， ， ；（邊到角的轉(zhuǎn)換）
形式四： ；（求三角形的面積）
(2)解決以下兩類(lèi)問(wèn)題： 1）、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）
2）、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。
(3)若給出 那么解的個(gè)數(shù)為：若 ，則無(wú)解；若 ，則一解；
若 ，則兩解；
2．余弦定理：txjy
（1）形式一： ， ，
形式二： ， ， ，（角到邊的轉(zhuǎn)換）
(2)解決以下兩類(lèi)問(wèn)題： 1）、已知三邊，求三個(gè)角；（唯一解）
2）、已知兩邊和它們得夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（唯一解）
【精典范例】
【例1】根據(jù)下列條件判斷三角形ABC的形狀：
(1)若a2tanB=b2tanA；
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解(1)由已知及正弦定理
(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A ? B)=0
∴ A + B=90o 或 A ? B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.
【例2】3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
①求證：△ABC是等腰三角形
②設(shè)D是△ABC外接圓直徑BE與AC的交點(diǎn),且AB=2 求： 的值
【例3】在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為 、b、c，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
= = =
(Ⅱ) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 且僅當(dāng) b=c= 時(shí),bc= ,故bc的最大值是 .
【追蹤訓(xùn)練】

1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,則c等于 （ ）
A． B． C． D．
2、在△ABC中，a＝ ，b＝ ，B＝45°，則A等于（）
A．30° B．60° C．60°或120°D． 30°或150°
3、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是（ ）
A．無(wú)解B．一解C．二解D．不能確定
4、在△ABC中，已知 ，則角A為（）
A． B． C． D． 或
5、在△ABC中，若 ，則△ABC的形狀是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6、在△ABC中，已知 ,那么△ABC一定是 ()
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
7、在△ABC中，周長(zhǎng)為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列結(jié)論：
① ②
③ ④
其中成立的個(gè)數(shù)是 ( )
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
8、在△ABC中， , ,∠A＝30°，則△ABC面積為 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
9、已知△ABC的面積為 ，且 ，則∠A等于 （ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
10、已知△ABC的三邊長(zhǎng) ，則△ABC的面積為 （ ）
A． B． C． D．
11、在△ABC中，若 ，則△ABC是（ ）
A．有一內(nèi)角為30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一內(nèi)角為30°的等腰三角形D．等邊三角形
§2.數(shù)列
1、數(shù)列
[數(shù)列的通項(xiàng)公式] [數(shù)列的前n項(xiàng)和]
2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念]
[定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差數(shù)列的判定方法]
1．定義法：若 2．等差中項(xiàng)：若
[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]
如果等差數(shù)列 的首項(xiàng)是 ，公差是 ，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為 。
[說(shuō)明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。
[等差數(shù)列的前n項(xiàng)和] 1． 2.
[說(shuō)明]對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。
[等差中項(xiàng)]如果 ， ， 成等差數(shù)列，那么 叫做 與 的等差中項(xiàng)。即： 或
[等差數(shù)列的性質(zhì)]
1．等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果 是等差數(shù)列的第 項(xiàng)， 是等差數(shù)列的第 項(xiàng)，且 ，公差為 ，則有
2．對(duì)于等差數(shù)列 ，若 ，則 。
3．若數(shù)列 是等差數(shù)列， 是其前n項(xiàng)的和， ，那么 ， ， 成等差數(shù)列。
3、等比數(shù)列
[等比數(shù)列的概念][定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（ ）。
[等比中項(xiàng)]如果是的等比中項(xiàng)，那么 ，即 。
[等比數(shù)列的判定方法]1定義法：若 2．等比中項(xiàng)法：若 ，
2[等比數(shù)列的通項(xiàng)公式] 的首項(xiàng)是 ，公比是 ，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為 。
3[等比數(shù)列的前n項(xiàng)和]

[等比數(shù)列的性質(zhì)]
1．等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果 是等比數(shù)列的第 項(xiàng)， 是等差數(shù)列的第 項(xiàng)，且 ，公比為 ，則有
3．對(duì)于等比數(shù)列 ，若 ，則
4．若數(shù)列 是等比數(shù)列， 是其前n項(xiàng)的和， ，那么 ， ， 成等比數(shù)列。
4、數(shù)列前n項(xiàng)和
（1）重要公式： ； ；

（2）等差數(shù)列中，
（3）等比數(shù)列中， （4）裂項(xiàng)求和： ；
【追蹤訓(xùn)練】
2、已知 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ，則 .
3.已知 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 ，平方和為 ，求這 個(gè)數(shù).
4、已知 為等差數(shù)列， ，則
5、已知 為等比數(shù)列， ，則
6、已知 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ，求 .
7、已知下列數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，分別求它們的通項(xiàng)公式 .⑴ ； ⑵ .
8、數(shù)列 中， ，求 ，并歸納出 .
9、數(shù)列 中， .
⑴ 是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？ ⑵ 為何值時(shí)， 有最小值？并求最小值.
§3.不等式
一、不等式的基本性質(zhì)：
（1）對(duì)稱(chēng)性： （2）傳遞性：
（2）同加性：若 （3）同乘性：若 若
如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小——作差法，其具體解題步驟可歸納為：
第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；
第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論
二、一元二次不等式解法：
解一元二次不等式的步驟：（用具體不等式比較好理解）
① 將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：A= >0(或<0)(a>0)
② 計(jì)算判別式 ，分析不等式的解的情況：
?. >0時(shí)，求根 < ，
?. =0時(shí)，求根 ＝ ＝ ，
?. <0時(shí)，方程無(wú)解，
③ 寫(xiě)出解集.


設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 的兩根為 ， ，則不等式的解的各種情況如下表：

二次函數(shù)

（ ）的圖象

一元二次方程
有兩相異實(shí)根

有兩相等實(shí)根

無(wú)實(shí)根
R


1、已知二次不等式 的解集為 ，求關(guān)于 的不等式 的解集.
2、若關(guān)于 的不等式 的解集為空集，求 的取值范圍.
追蹤訓(xùn)練
1、設(shè) ，且 ，求 的取值范圍.
2、已知二次不等式 的解集為 ，求關(guān)于 的不等式 的解集.
3、若關(guān)于 的不等式 的解集為空集，求 的取值范圍.

三、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域
四、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃
典型例題：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：
從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最小，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3× +5× =14

五、基本不等式
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么
??我們稱(chēng) 的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng) 的幾何平均數(shù)?
（注意： 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。）
不等式應(yīng)用：
（1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤ ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.(簡(jiǎn)記為：和為定值積最大)
(2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.（簡(jiǎn)記為：積為定值和最小）

典型例題：例1(1) 若x>0,求 的最小值;(2)若x<0,求 的最大值.
[點(diǎn)撥]本題(1)x>0和 =36兩個(gè)前提條件;(2)中x<0,可以用-x>0來(lái)轉(zhuǎn)化.
解1) 因?yàn)?x>0 由基本不等式得
,當(dāng)且僅當(dāng) 即x= 時(shí),
有最小值為12.
(2)因?yàn)?x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
當(dāng)且僅當(dāng) 即x=- 時(shí), 取得最大-12.

例2將一塊邊長(zhǎng)為 的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？最大容積是多少？
解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為 則其容積為

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取“=”
即當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為 時(shí)，鐵盒的容積為
【追蹤訓(xùn)練】
3、已知函數(shù) ,滿足 , ,那么
的取值范圍是 .
4、解不等式：（1） ；（2）

6、 畫(huà)出不等式組 表示的平面區(qū)域。7、已知x、y滿足不等式 ,求z=3x+y的最小值。
（利用基本不等式證明不等式 ） 求證
（利用基本不等式求最值）若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值

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