題目 第六章不等式 算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)
高考要求
1 了解算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的定理及其逆定理
2 能運用定理解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題
3 在用均值定理解決實際問題時,要理解題意,設變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應的函數(shù)關系式,在定義域內,求出函數(shù)的最大值或最小值
知識點歸納
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 當且僅當
（2）
（3） ，則
（4）
2 最值定理:設
（1）如積
（2）如積
即:積定和最小，和定積最大
運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
3 均值不等式:
兩個正數(shù)的均值不等式：
三個正數(shù)的均值不等是：
n個正數(shù)的均值不等式：
4 四種均值的關系：兩個正數(shù) 的調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)、均方根之間的關系是

不等式這部分知識，滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數(shù)學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數(shù)學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明
題型講解
例1 設a>0 ，b>0 則下列不等式中不成立的是（）
A．a+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥4
C ≥a+b D ≥
解法一：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各選項中的不等式，易判斷 ≥ 不成立
解法二：可逐項使用均值不等式判斷
A．a+b+ ≥2 + ≥2 =2 ，不等式成立
B ∵a+b≥2 >0, + ≥2 >0,相乘得: (a+b)( + )≥4成立
C ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2( )2=( )2
又 ≤ ≥ ∴ ≥a+b 成立
D ∵a+b≥2 ≤ ,
∴ ≤ = ,即 ≥ 不成立
故選D
例2 今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結果的和的一半就是物體的真實重量,這種說法對嗎?并說明你的結論
解:不對
設左、右臂長分別是 ,物體放在左、右托盤稱得重量分別為 真實重量為為G，則由杠桿平衡原理有：
，
①×②得G2= , ∴G=
由于 ，故 ,由平均值不等式 > 知說法不對
真實重量是兩次稱量結果的幾何平均值
點評:本小題平均值 不等, 杠桿平衡原理知識、數(shù)學化能力及分析問題、解決問題的能力，屬跨學科（數(shù)學、物理）的創(chuàng)新問題
例3設x≥0, y≥0, x2+ =1,則 的最大值為＿＿
分析: ∵x2+ =1是常數(shù), ∴x2與 的積可能有最大值
∴可把x放到根號 里面去考慮,注意到x2與1+y2的積,應處理成2 x2?
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+ =1
∴ = =
≤ = =
當且僅當x= ,y= (即x2= )時, 取得最大值
解法二: 令 (0≤ ≤ )
則 =cos =
≤ =
當 = ,
即 = 時,x= ,y= 時， 取得最大值
例4 若a>b>0, 求 的最小值
分析: 的結構不對稱,關鍵是 的分母(a?b)b,而(a?b)+b=a, 故問題突破口已顯然! 也可以逐步進行：先對b求最小值 ，然后在對a求最小值
解法一: =[(a?b)+b]2 +
≥[2 ]2 + =4(a?b)b+ ≥16
當且僅當b=(a?b)且(a?b)b=2,即a=2b=2 時取等號,故 的最小值為16
解法二: =
當且僅當b=(a?b)且 ,
即a=2b=2 時取等號,故 的最小值為16
點評:在運用均值不等式求最值時,湊出定值是關鍵!但在定值的過程中,不一定就能湊出定值來,實際上,分幾步湊也是可以的,只要每步取等號的條件相同便可
例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求證:(1+ )(1+ )≥9
分析: x+y常數(shù),xy可有最大值
證法一: 左邊＝(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ +
=1+ ≥1+ =9＝右邊 (當且僅當x=y= 時取“=”號)
證法二： 令x= y= , 0< <
左邊＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )
=1+ + + ? =1+
=1+ ≥1+8=9＝右邊
0<2 < = 時，x=y= 時取等號
證法三：∵x+y=1
∴左邊＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )
=5+2( + )≥5+4=9＝右邊 (當且僅當x=y= 時取“=”號)
小結：
1 平均值定理是證明不等式的重要依據(jù)，其一般形式是：
a1a2a3```+an≥ ( a1a2a3```an均為正實數(shù))，它的一邊是“和”的形式，另一邊是“積”的形式，要實現(xiàn)轉化時，常用均值不等式 用它來求函數(shù)最值時，注意：一“正”二“定”三“相等”
2 運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤ ; ≥ (a,b>0)逆用為ab≤( )2 （a,b>0）等 還要注意“添拆項”技巧和公式等號成立的條件等
3 在用均值定理解決實際問題時,要理解題意,設變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應的函數(shù)關系式,在定義域內,求出函數(shù)的最大值或最小值
學生練習
1 設a、b≥0,a＋b=1, 試比較大小： 2 (填“≥”,“≤”或“=”)
答案：≤
2 比較大�。喝鬭>b>0, 則 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
2 若x, y∈R+, 且x＋y=s, xy=p, 則下列命題中正確的是（ ）
A 當且僅當x=y時，s有最小值2
B 當且僅當x=y時，p有最大值
C 當且僅當p為定值時，s有最小值2
D 若s為定值，則當且僅當x=y時，p有最大值
答案：D
4 若x, y∈R+, x＋y≤4,則下列不等式中成立的是（ ）
A ≤ B ＋ ≥1 C ≥ 2 D ≥1
答案：B 提示： ＋ ≥2 ≥2 ≥1
5 下列說法中不正確的是（ ）
A 由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)
B 對于命題“a、b∈R+ ≥ ”,把條件改為a、b均為非負數(shù)后依然成立
C 若a>b>0, n∈Z, n>1,則a>b
D 若a、b、c∈R+，則
答案：D
提示： ≤ =
6 下列不等式中恒成立的是（ ）
A ctgθ＋tgθ≥2 B x＋ －1≥2
C ≥2 D xyz≤ (x＋y＋z=1)
答案：B
7 當x∈R+ 時可得到不等式x＋ ≥2, x＋ = ＋ ＋ ≥3, 由此可以推廣為x＋ ≥n＋1, 取值p等于（ ）
A nn B n 2 C n D n＋1
答案：A 提示：x＋ ＝ ＋ ＋……＋ ＋ ≥n＋1，∴p= nn
8 x、y>0, x＋y=1, 且 ≤a恒成立, 則a的最小值為（ ）
A /2 B 2 C 2 D
答案：D 提示： ≤2 =
9 在區(qū)間(0, +∞)上，當x= 時，函數(shù)y= ＋3x有最小值
答案：2；9 提示：y= ＋3x≥3 =9,
10 函數(shù)y=m2＋ 的值域為
答案：[1, +∞) 提示：y=m2＋ = y=(m2＋1)＋ －1≥2
11 已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1, 則 的最大值為 ； 最小值為
答案： ；1
12 已知：a＋b＋c=1, a2＋b2＋c2=1, 且a>b>c,則a＋b的取值范圍是 ；a2＋b2 的取值范圍是
答案：(1, )；( , 1)
13 若a>1, b>1, c>1, ab=10，求證：log ac＋log bc≥4lgc, 并指出什么時候等號成立
答案：a=b= 時等號成立 提示：a>1, b>1, c>1, ab=10, log ac＋log bc=lgc? ≥lgc? =4lgc, 當lga=lgb時,即a=b= 時等號成立
14 若a>0, b>0，且 =1,
求證：(I) a＋b≥4;
(II) 對于一切n∈N, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
提示：(I) =1, a＋b=( )(a＋b)=1＋ ＋ ＋1≥4,
(II) 當n=1時, 左式＝0，右式＝0，∴n=1時成立，假設n=k時成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1, 則當n=k＋1時，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2?2k＋1＋4?22k－4?2k＋1=22k＋2－2k＋2, ∴n=k＋1時命題成立


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