題目 第六章不等式 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
高考要求
1 了解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的定理及其逆定理
2 能運(yùn)用定理解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題
3 在用均值定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要理解題意,設(shè)變量時(shí)要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值
知識(shí)點(diǎn)歸納
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 當(dāng)且僅當(dāng)
（2）
（3） ，則
（4）
2 最值定理:設(shè)
（1）如積
（2）如積
即:積定和最小，和定積最大
運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
3 均值不等式:
兩個(gè)正數(shù)的均值不等式：
三個(gè)正數(shù)的均值不等是：
n個(gè)正數(shù)的均值不等式：
4 四種均值的關(guān)系：兩個(gè)正數(shù) 的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是

不等式這部分知識(shí)，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對(duì)同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問(wèn)題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明
題型講解
例1 設(shè)a>0 ，b>0 則下列不等式中不成立的是（）
A．a(chǎn)+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥4
C ≥a+b D ≥
解法一：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各選項(xiàng)中的不等式，易判斷 ≥ 不成立
解法二：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷
A．a(chǎn)+b+ ≥2 + ≥2 =2 ，不等式成立
B ∵a+b≥2 >0, + ≥2 >0,相乘得: (a+b)( + )≥4成立
C ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2( )2=( )2
又 ≤ ≥ ∴ ≥a+b 成立
D ∵a+b≥2 ≤ ,
∴ ≤ = ,即 ≥ 不成立
故選D
例2 今有一臺(tái)壞天平,兩臂長(zhǎng)不等,其余均精確,有人說(shuō)要用它稱(chēng)物體的重量,只需將物體放在左右托盤(pán)各稱(chēng)一次,則兩次稱(chēng)量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說(shuō)法對(duì)嗎?并說(shuō)明你的結(jié)論
解:不對(duì)
設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別是 ,物體放在左、右托盤(pán)稱(chēng)得重量分別為 真實(shí)重量為為G，則由杠桿平衡原理有：
，
①×②得G2= , ∴G=
由于 ，故 ,由平均值不等式 > 知說(shuō)法不對(duì)
真實(shí)重量是兩次稱(chēng)量結(jié)果的幾何平均值
點(diǎn)評(píng):本小題平均值 不等, 杠桿平衡原理知識(shí)、數(shù)學(xué)化能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬跨學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理）的創(chuàng)新問(wèn)題
例3設(shè)x≥0, y≥0, x2+ =1,則 的最大值為＿＿
分析: ∵x2+ =1是常數(shù), ∴x2與 的積可能有最大值
∴可把x放到根號(hào) 里面去考慮,注意到x2與1+y2的積,應(yīng)處理成2 x2?
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+ =1
∴ = =
≤ = =
當(dāng)且僅當(dāng)x= ,y= (即x2= )時(shí), 取得最大值
解法二: 令 (0≤ ≤ )
則 =cos =
≤ =
當(dāng) = ,
即 = 時(shí),x= ,y= 時(shí)， 取得最大值
例4 若a>b>0, 求 的最小值
分析: 的結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng),關(guān)鍵是 的分母(a?b)b,而(a?b)+b=a, 故問(wèn)題突破口已顯然! 也可以逐步進(jìn)行：先對(duì)b求最小值 ，然后在對(duì)a求最小值
解法一: =[(a?b)+b]2 +
≥[2 ]2 + =4(a?b)b+ ≥16
當(dāng)且僅當(dāng)b=(a?b)且(a?b)b=2,即a=2b=2 時(shí)取等號(hào),故 的最小值為16
解法二: =
當(dāng)且僅當(dāng)b=(a?b)且 ,
即a=2b=2 時(shí)取等號(hào),故 的最小值為16
點(diǎn)評(píng):在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí),湊出定值是關(guān)鍵!但在定值的過(guò)程中,不一定就能湊出定值來(lái),實(shí)際上,分幾步湊也是可以的,只要每步取等號(hào)的條件相同便可
例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求證:(1+ )(1+ )≥9
分析: x+y常數(shù),xy可有最大值
證法一: 左邊＝(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ +
=1+ ≥1+ =9＝右邊 (當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時(shí)取“=”號(hào))
證法二： 令x= y= , 0< <
左邊＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )
=1+ + + ? =1+
=1+ ≥1+8=9＝右邊
0<2 < = 時(shí)，x=y= 時(shí)取等號(hào)
證法三：∵x+y=1
∴左邊＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )
=5+2( + )≥5+4=9＝右邊 (當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時(shí)取“=”號(hào))
小結(jié)：
1 平均值定理是證明不等式的重要依據(jù)，其一般形式是：
a1a2a3```+an≥ ( a1a2a3```an均為正實(shí)數(shù))，它的一邊是“和”的形式，另一邊是“積”的形式，要實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化時(shí)，常用均值不等式 用它來(lái)求函數(shù)最值時(shí)，注意：一“正”二“定”三“相等”
2 運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤ ; ≥ (a,b>0)逆用為ab≤( )2 （a,b>0）等 還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等
3 在用均值定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要理解題意,設(shè)變量時(shí)要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值
學(xué)生練習(xí)
1 設(shè)a、b≥0,a＋b=1, 試比較大小： 2 (填“≥”,“≤”或“=”)
答案：≤
2 比較大�。喝鬭>b>0, 則 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
2 若x, y∈R+, 且x＋y=s, xy=p, 則下列命題中正確的是（ ）
A 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，s有最小值2
B 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值
C 當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值2
D 若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值
答案：D
4 若x, y∈R+, x＋y≤4,則下列不等式中成立的是（ ）
A ≤ B ＋ ≥1 C ≥ 2 D ≥1
答案：B 提示： ＋ ≥2 ≥2 ≥1
5 下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A 由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)
B 對(duì)于命題“a、b∈R+ ≥ ”,把條件改為a、b均為非負(fù)數(shù)后依然成立
C 若a>b>0, n∈Z, n>1,則a>b
D 若a、b、c∈R+，則
答案：D
提示： ≤ =
6 下列不等式中恒成立的是（ ）
A ctgθ＋tgθ≥2 B x＋ －1≥2
C ≥2 D xyz≤ (x＋y＋z=1)
答案：B
7 當(dāng)x∈R+ 時(shí)可得到不等式x＋ ≥2, x＋ = ＋ ＋ ≥3, 由此可以推廣為x＋ ≥n＋1, 取值p等于（ ）
A nn B n 2 C n D n＋1
答案：A 提示：x＋ ＝ ＋ ＋……＋ ＋ ≥n＋1，∴p= nn
8 x、y>0, x＋y=1, 且 ≤a恒成立, 則a的最小值為（ ）
A /2 B 2 C 2 D
答案：D 提示： ≤2 =
9 在區(qū)間(0, +∞)上，當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)y= ＋3x有最小值
答案：2；9 提示：y= ＋3x≥3 =9,
10 函數(shù)y=m2＋ 的值域?yàn)?
答案：[1, +∞) 提示：y=m2＋ = y=(m2＋1)＋ －1≥2
11 已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1, 則 的最大值為 ； 最小值為
答案： ；1
12 已知：a＋b＋c=1, a2＋b2＋c2=1, 且a>b>c,則a＋b的取值范圍是 ；a2＋b2 的取值范圍是
答案：(1, )；( , 1)
13 若a>1, b>1, c>1, ab=10，求證：log ac＋log bc≥4lgc, 并指出什么時(shí)候等號(hào)成立
答案：a=b= 時(shí)等號(hào)成立 提示：a>1, b>1, c>1, ab=10, log ac＋log bc=lgc? ≥lgc? =4lgc, 當(dāng)lga=lgb時(shí),即a=b= 時(shí)等號(hào)成立
14 若a>0, b>0，且 =1,
求證：(I) a＋b≥4;
(II) 對(duì)于一切n∈N, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
提示：(I) =1, a＋b=( )(a＋b)=1＋ ＋ ＋1≥4,
(II) 當(dāng)n=1時(shí), 左式＝0，右式＝0，∴n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k時(shí)成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1, 則當(dāng)n=k＋1時(shí)，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2?2k＋1＋4?22k－4?2k＋1=22k＋2－2k＋2, ∴n=k＋1時(shí)命題成立


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