雙曲線的第一定義是圓錐曲線部分的重要概念，在解題中有著重要的應(yīng)用，本文將雙曲線的第一定義在解題中的應(yīng)用作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
一、利用雙曲線第一定義求軌跡方程
例1已知 中，C（-2，0），B（2，0）， ，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
分析:用正弦定理將 化為 ，由雙曲線的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的雙曲線的右支.
解析：由正弦定理及 得，∴
由雙曲線的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的雙曲線的右支
∴ ， ，∴ =3
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為 （ ）.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的第一定義、正弦定理及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用定義求軌跡是求軌跡問題的一種重要方法.
二、利用雙曲線第一定義解決焦點(diǎn)三角形問題
例2 已知 ， 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 與橢圓實(shí)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ 是正三角形，求雙曲線的離心率.
分析：本題關(guān)鍵在于尋找 、 間關(guān)系，結(jié)合圖形，容易找到此關(guān)系.
解析：由△ 是正三角形，得 是 為 的直角三角形，設(shè) = ，則 ，則 = ，由雙曲線第一定義知， = ，又 = = = = .
點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的第一定義與橢圓性質(zhì)，對焦點(diǎn)三角形問題，常用到第一定義.
例3 已知雙曲線 ( )的焦點(diǎn)分別為 ， ，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)， = ( )，求 的面積.
分析：已知 = ，關(guān)鍵是求 的值，聯(lián)系 = ，使我們想到余弦定理，配方后用雙曲線第一定義即可求得.
解析：設(shè)雙曲線的焦距為 ，有雙曲線的第一定義知， = ，
在 中，由余弦定理得， = = ，
∴ = =
∴ = = = .
點(diǎn)評(píng)：解決雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，要充分利用正弦定理、余弦定理、雙曲的第一定義，關(guān)鍵是配湊出 的形式，注意點(diǎn)P在雙曲線的哪一支上.
三、利用第一定義計(jì)算雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題
例4已知 ， 分別是雙曲線 的左右焦點(diǎn)，過 的直線與雙曲線左支交于 ， ，弦AB=4，求 的周長.
分析：本題涉及雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題，利用雙曲線的第一定義求解.
解析:因?yàn)?， 在雙曲線上，所以 =8， =8，
∴ =16，而 ，
∴ ，∴ ，即 的周長為24.

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