基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．將1枚硬幣拋2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是
2．任意說出星期一到星期日中的兩天（不重復(fù)），其中恰有一天是星期六的概率是
3．某銀行儲蓄卡上的密碼是一種4位數(shù)字號碼，每位上的數(shù)字可在0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中選取，某人未記住密碼的最后一位數(shù)字，若按下密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對密碼的概率是
4．連續(xù)3次拋擲一枚硬幣，則正、反面交替出現(xiàn) 的概率是
5．在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn) 在x軸上方的概 率是
典型例題
例1 擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率。
分析：擲骰子有6個(gè)基本事件，具有有限性和等可能性， 因此是古典概型。
解：這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有6個(gè)，即（出現(xiàn)1點(diǎn)）、（出現(xiàn)2點(diǎn)）……、（出現(xiàn)6點(diǎn)）
所以基本事件數(shù)n=6，
事件A=（擲得奇數(shù)點(diǎn)）=（出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)5點(diǎn)），
其包含的基本事件數(shù)m=3
所以，P（A）= = = =0.5
小結(jié)：利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：
（1）所有的基本事件必須是互斥的；
（2）m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時(shí)，要做到不重不漏。
例2 從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4個(gè)基本事件組成，因而，P（A）= =
例3 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：
（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；
（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）為返 回抽樣；（2）為不返回抽樣．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不 放回3次無順序抽樣，先按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小結(jié)：關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié) 果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯(cuò)誤．
課堂精煉
1.從一副撲克牌(54張)中抽一張牌，抽到牌“K”的概率是 。
答案：
2.將一枚硬幣拋兩次,恰好出現(xiàn)一次正面的概率是 。
答案：
3.從標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9張紙片中任取2張,那么這2 張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為 。
答案： 4.同時(shí)擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為 ；
點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為 。
答案： ；
5.一個(gè)口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4 個(gè)球除顏色外完全相同,從中摸出2個(gè)球,則1個(gè)是白球,1個(gè)是黑球的概率是 。
答案：
6.先后拋3枚均勻的硬幣,至少出現(xiàn)一次正面的概率為 。
答案：
7．一個(gè)正方體，它的表面涂滿了紅色，在它的每個(gè)面上切兩刀，可得27個(gè)小正方體，從中任取一個(gè)它恰有一個(gè)面涂有紅色的概率是 。
答案：
8.從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè),則這兩個(gè)數(shù)正好相差1的概率是________。
答案：
9．口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率。
答案：把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也 編上序號1、2，于是四個(gè)人按順序依 次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來如 下：
從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個(gè)人摸到白球”為事件A，則 。
10．袋中有紅、白色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽三次，寫出所有的基本事件，并計(jì)算下列事件的概率：（1）三次顏色恰有兩次同色； （2）三次顏色全相同；
（3）三次抽取 的球中紅色球出現(xiàn)的次數(shù)多于白色球出現(xiàn)的次數(shù)。
答案：（紅紅紅）（紅紅白）（紅白紅）（白紅紅）（紅白白）（白紅白）（白白紅）（白白白）
（1） （2） （3）
11．已知集合 ， ；
（1）求 為一次函數(shù)的概率； （2）求 為二次函數(shù)的概率。
答案：（1） （2）
12．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點(diǎn)數(shù) 為點(diǎn) 的坐標(biāo)，設(shè)圓 的方程為 ；
（1）求點(diǎn) 在圓 上的概率； （2）求 點(diǎn) 在圓 外的概率。
答案：（1） （2）

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