難點17 三角函數式模型的簡單應用
三角形中的三角函數關系是歷年高考的重點內容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點磁場
(★★★★★)已知△ABC的三個內角A、B、C滿足A+C=2B. ，求cos 的值.
●案例探究
［例1］在海島A上有一座海拔1千米的，頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。
(1)求船的航行速度是每小時多少千米；
(2)又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.
知識依托：主要利用三角形的三角關系，關鍵找準方位角，合理利用邊角關系.
錯解分析：考生對方位角識別不準，計算易出錯.
技巧與方法：主要依據三角形中的邊角關系并且運用正弦定理解決問題.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB•cos30°－cosACB•sin30° .

在△ACD中，據正弦定理得 ，
∴
答：此時船距島A為 千米.
［例2］已知△ABC的三內角A、B、C滿足A+C=2B，設x=cos ，f(x)=cosB( ).
(1)試求函數f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調性，并加以證明；
(3)求這個函數的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎知識的靈活運用的程度和考生的運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：主要依據三角函數的有關公式和性質以及函數的有關性質去解決問題.
錯解分析：考生對三角函數中有關公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數的單調性去求函數的值域問題.
技巧與方法：本題的關鍵是運用三角函數的有關公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意 的范圍.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤ ＜60°，∴x=cos ∈( ，1
又4x2－3≠0，∴x≠ ，∴定義域為( ， )∪( ，1］.
(2)設x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
= ，若x1，x2∈( )，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈( ，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在( , )和( ，1 上都是減函數.
(3)由(2)知，f(x)＜f( )=－ 或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域為(－∞，－ )∪［2，+∞ .
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形；
(2)熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉化；
(3)能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數公式配合，通過等價轉化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條的挖掘.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)給出四個命題：(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形.以上正確命題的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差數列，則 的值為__________.
3.(★★★★)在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－ ，sinB= ，則cos2(B+C)=__________.
三、解答題
4.(★★★★)已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.
5.(★★★★★)如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光的距離 r的平方成反比，即I=k• ，其中 k是一個和燈光強度有關的常數，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊， .
(1)求角A的度數；(2)若a= ，b+c=3，求b和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數列，又∠A－∠C= ，試求∠A、∠B、∠C的值.
8.(★★★★★)在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
參考答案
難點磁場
解法一：由題設條知B=60°，A+C=120°.
設α= ，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依題設條有

整理得4 cos2α+2cosα－3 =0()
(2cosα－ )(2 cosα+3)=0，∵2 cosα+3≠0，
∴2cosα－ =0.從而得cos .
解法二：由題設條知B=60°，A+C=120°
①，把①式化為cosA+cosC=－2 cosAcosC ②，
利用和差化積及積化和差公式，②式可化為
③，
將cos =cos60°= ，cos(A+C)=－ 代入③式得：
④
將cos(A－C)=2cos2( )－1代入 ④：4 cos2( )+2cos －3 =0，(*)，
殲滅難點訓練
一、1.解析：其中(3）(4）正確.
答案： B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：
3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=－ ，∴sin(2A+C)= .
∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB= .故cosB= .
即sin(A+C)= ，cos(A+C)=－ .
∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－ ，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= .
答案：
三、4.解：如圖：連結BD，則有四邊形ABCD的面積：

S=S△ABD+S△CDB= •AB•ADsinA+ •BC•CD•sinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S= (AB•AD+BC•CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB•AD•cosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB•CD•cosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－ ，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 .
5.解：R=rcosθ，由此得： ，

7.解：由a、b、3c成等比數列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinC•sinA=3(－ )［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ ［cos(A+C)－cos ］
即1－cos2(A+C)=－ cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ .
∵0＜A+C＜π，∴A+C= π.又A－C= ∴A= π，B= ，C= .
8.解：按題意，設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?
由正弦定理知： .∴BP=
在△PBD中， ,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當60°+2θ=90°，即θ=15°時，
sin(60°+2θ)=1，此時x取得最小值 a，即AD最小，∴AD∶DB=2 －3.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/38093.html

相關閱讀：簡單復合函數的導數學案練習題