一、參考例題
［例1］一袋中有2個白球和2個黑球，把“從中任意摸出1個球，得到白球”記作事件A，把“從剩下的3個球中任意摸出1個球，得到白球”記作事件B，那么，當(dāng)事件A發(fā)生時，事件B的概率是多少？當(dāng)事件A不發(fā)生時，事件B的概率又是多少？這里事件A與B能否相互獨(dú)立？
分析：由于不論事件A發(fā)生與否，事件B都是等可能性事件，利用等可能性事件的概率計算公式可得當(dāng)A發(fā)生時，P(B)的值和當(dāng)A不發(fā)生時，P(B)的值.
解：∵當(dāng)事件A發(fā)生時，P(B)= ，
當(dāng)事件A不發(fā)生(即第一個取到的是黑球)時，P(B)= .
∴不論事件A發(fā)生與否，對事件B發(fā)生的概率有影響.所以事件A與B不是相互獨(dú)立事件.
［例2］設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8,求：
(1)目標(biāo)恰好被甲擊中的概率;
(2)目標(biāo)被擊中的概率.
分析：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”,由于事件A與B是相互獨(dú)立的，故A與 、 與B也是相互獨(dú)立的.
解：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”.
∵甲、乙兩射手獨(dú)立射擊,
∴事件A與B是相互獨(dú)立的.
∴事件A與 、 與B都是相互獨(dú)立的.
(1)∵目標(biāo)恰好被甲擊中，即A? 發(fā)生,
∵P(A? )=P(A)?P( )=0.9×0.2=0.18,
∴目標(biāo)恰好被甲擊中概率為0.18.
(2)∵目標(biāo)被擊中，即甲、乙兩人至少有一人擊中目標(biāo)，即事件A? 或 ?B或A?B發(fā)生,
又∵事件A? 、 ?B、A?B彼此互斥.
∴目標(biāo)被擊中的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.2+0.1×0.9+0.9×0.8
=0.98.
［例3］甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？
分析：設(shè)從甲袋中任取一個球，事件A：“取得白球”，故此時事件 為“取得紅球”.
設(shè)從乙袋中任取一個球，事件B：“取得白球”，故此時事件 為“取得紅球”.
由于事件A與B是相互獨(dú)立的，因此事件 與 也相互獨(dú)立.
由于事件“從每袋中任取一個球，取得同色”的發(fā)生即為事件A?B或 ? 發(fā)生.
解：設(shè)從甲袋中任取一個球，事件A：“取得白球”，則此時事件 ：“取得紅球”，從乙袋中任取一個球，取得同色球的概率為
P(A?B+ ? )=P(A?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P( )
= ? ? .
［例4］甲、乙兩個同時報考某一大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否錄取互不影響，求：
(1)甲、乙兩人都被錄取的概率；
(2)甲、乙兩人都不被錄取的概率；
(3)其中至少一個被錄取的概率；
分析：設(shè)事件A：“甲被錄取”，事件B：“乙被錄取”.
因?yàn)椋瑑扇耸欠皲浫∠嗷ゲ挥绊�，故事件A與B相互獨(dú)立.因此 與 ，A與 ， 與B都是相互獨(dú)立事件.
解：設(shè)事件A“甲被錄取”，事件B“乙被錄取”.
∵兩人錄取互不影響,
∴事件A與B是相互獨(dú)立事件.
∴事件 與 ，A與 ， 與B都是相互獨(dú)立事件.
(1)∵甲、乙二人都被錄取，即事件(A?B)發(fā)生,
∴甲、乙二人都被錄取的概率
P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.7=0.42.
(2)∵甲、乙二人都不被錄取，即事件( ? )發(fā)生,
∴甲、乙兩人都不被錄取的概率
P( ? )=P( )?P( )
=［1-P(A)］?［1-P(B)］
=0.4×0.3=0.12.
(3)∵其中至少一人被錄取，即事件(A? )或( ?B)或(A?B)發(fā)生，而事件(A? )，( ，B)，(A?B)彼此互斥,
∴其中至少一人被錄取的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)［1-P(B)］+［1-P(A)］?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)?P(B)
=0.6+0.7-0.42=0.88.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)壇中僅有黑、白兩種顏色大小相同的球，從中進(jìn)行有放回的摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與 是
A.相互獨(dú)立事件B.不相互獨(dú)立事件
C.互斥事件D.對立事件
答案：A
(2)若事件A與B相互獨(dú)立，則下列不相互獨(dú)立的事件為
A.A與 B. 和
C.B與 D.B與A
答案：C
(3)電燈泡使用時間在1000小時以上的概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是
A.0.128B.0.096
C.0.104D.0.384
答案：B
(4)某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
2.填空題
(1)設(shè)P(A)=0.3，P(B)=0.6，事件A與B是相互獨(dú)立事件，則P( ?B)=________.
答案：0.42
(2)棉子的發(fā)芽率為0.9,發(fā)育為壯苗的概率為0.6.
①每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為________；此穴無壯苗的概率為________.
②每穴播三粒，此穴有苗的概率為________；此穴有壯苗的概率為________.
答案：①0.01 0.16
②1-(0.1)3 1-(1-0.6)3
(3)一個工人生產(chǎn)了四個零件，設(shè)事件Ak:“新生產(chǎn)的零件第k個是正品”(k=1,2,3,4),試用P(Ak)表示下列事件的概率(設(shè)事件Ak彼此相互獨(dú)立).
①沒有一個產(chǎn)品是次品:________;
②至少有一個產(chǎn)品是次品:________;
③至多有一個產(chǎn)品是次品:________.
答案：①P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)
②1-P(A1?A2?A3?A4)
③P( ?A2?A3?A4)+P(A1? ?A3?A4)+P(A1?A2? ?A4)+P(A1?A2?A3? )
3.解答題
(1)對飛機(jī)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，第一次、第二次、第三次的命中率分別為0.4、0.5、0.7,求：
①飛機(jī)被擊中一次、二次、三次的概率；
②飛機(jī)一次也沒有被擊中的概率.
解：①飛機(jī)被擊中一次的概率
P1=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
飛機(jī)被擊中二次的概率
P2=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
飛機(jī)被擊中三次的概率
P3=0.4×0.5×0.7=0.14.
②飛機(jī)一次也沒有被擊中的概率
P=0.6×0.5×0.3=0.09.
(2)設(shè)有10把各不相同的鑰匙，其中只有一把能打開某間房門，由于不知道哪一把是這間房門的鑰匙，從而只好將這些鑰匙逐個試一試.如果所試開的一把鑰匙是從還沒有試過的鑰匙中任意取出的，試求：
①第一次試能打開門的概率；
②第k次(k=1,2,…,10)試能打開門的概率.
解：①P= .
②P= ? ? … ? .
(3)在一次三人象棋對抗賽里，甲勝乙的概率為0.4,乙勝丙的概率為0.5,丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局負(fù)者；第四局，第三局勝者對第二局負(fù)者，每局比賽必須決出勝負(fù)，試計算：
①乙連勝4局的概率；
②丙連勝3局的概率.
解：①P=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.
②P=0.4×0.6×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6×0.5=0.162.
評述：注意靈活分析同時發(fā)生的相互獨(dú)立事件的結(jié)構(gòu)，并加以概率計算.
(4)(2004全國,文20)從10位同學(xué)(其中6女,4男)中隨機(jī)選出3位參加測驗(yàn).每位女生能通過測驗(yàn)的概率均為 ,每位男生能通過測驗(yàn)的概率均為 .試求:
①選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率;
②10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗(yàn)的概率.
解:①隨機(jī)選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率為1- .
②甲、乙被選中且能通過測驗(yàn)的概率為 .
評述:靈活應(yīng)用排列、組合、概率等基本概念及獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及概率知識解決實(shí)際問題.
(5)(2004陜、甘、寧,文20)某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答3個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6.且各題答對與否相互之間沒有影響.
①求這名同學(xué)得300分的概率;
②求這名同學(xué)至少得300分的概率.
解:記“這名同學(xué)答對第i個問題”為事件Ai(i=1,2,3),則
P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
①這名同學(xué)得300分的概率
P1=P(A1 A3)+P( A2A3)
=P(A1)P( )P(A3)+P( )P(A2)P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
=0.228.
②這名同學(xué)至少得300分的概率
P2=P1+P(A1A2A3)
=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)
=0.228+0.8×0.7×0.6
=0.564.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］甲、乙兩同學(xué)同時解一道數(shù)學(xué)題，設(shè)事件A：“甲同學(xué)做對”，事件B：“乙同學(xué)做對”，試用事件A、B表示下列事件.
(1)甲同學(xué)做錯，乙同學(xué)做對；
(2)甲、乙同學(xué)同時做錯；
(3)甲、乙兩同學(xué)中至少一人做對；
(4)甲、乙兩同學(xué)中至多一人做對；
(5)甲、乙兩同學(xué)中恰有一人做對.
分析：由于事件A：“甲同學(xué)做對”，事件B：“乙同學(xué)做對”，則 ：“甲同學(xué)做錯”， ：“乙同學(xué)做錯”.因?yàn)槭录嗀與B是相互獨(dú)立事件，所以A與 ， 與B， 與 都是相互獨(dú)立事件.
解：(1)事件 與事件B同時發(fā)生，即 ?B;
(2)事件 與事件 同時發(fā)生，即 ? ;
(3)事件A? ， ?B，A?B互斥，其有一發(fā)生，則事件發(fā)生，即A? + ?B+A?B;
(4)事件可表示為 ? + ?B+A? .
(5)事件可表示為A? + ?B.
［例2］兩臺雷達(dá)獨(dú)立地工作，在一段時間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率為0.9,乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率為0.85,計算在這段時間內(nèi)，下列各事件的概率.
(1)甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
(2)至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
(3)至多有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo).
分析：設(shè)這段時間內(nèi)，事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”.由于兩雷達(dá)獨(dú)立工作，故事件A與B相互獨(dú)立.
解：設(shè)事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”.
因甲、乙兩臺雷達(dá)獨(dú)立工作，故事件A與B相互獨(dú)立.所以事件A與 ， 與B， 與 也相互獨(dú)立.
(1)∵甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件( ? )發(fā)生,
∴甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率
P( ? )=P( )?P( )=［1-P(A)］?［1-P(B)］=0.1×0.15=0.015.
(2)解法一：∵至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件“A? + ?B+A?B”發(fā)生,
又∵事件A? ， ?B，A?B彼此互斥,
∴所求的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.9×0.85
=0.985.
解法二：∵事件“至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩臺雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對立事件,
∴所求的概率為
1-P( ? )=1-P( )?P( )=1-0.1×0.15=0.985.
(3)解法一：∵至多有一雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件A? + ?B+ ? 彼此互斥
∴所求的概率
P(A? + ?B+ ? )
=P(A? )+P( ?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P(B)+P( )?P( )
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.1×0.15
=0.235.
解法二：∵事件“至多一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩雷達(dá)同時發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對立事件,
∴所求的概率為
1-P(A?B)=1-P(A)?P(B) =1-0.9×0.85=0.235.
［例3］有甲、乙、丙3批罐頭，每批100個，其中各有1個是不合法的，從三批罐頭中各抽出1個，求抽出的3個中至少有1個不合格的概率.
分析：設(shè)從甲、乙、丙3批罐頭中各抽出1個，得到不合格的事件分別為A、B、C；因?yàn)槭录�“抽出�?個中至少有1個是不合格的”與事件“抽出的3個全是合格的”是對立事件，且事件A、B、C相互獨(dú)立，故所求的事件概率可求.
解：設(shè)從甲、乙、丙三批罐頭中各抽出1個，得到不合格的事件分別為A、B、C；則事件A、B、C相互獨(dú)立， 、 、 也相互獨(dú)立.
∵事件“抽出的3個中至少有1個是不合格的”與事件“抽出的3個全是合格的”是對立事件,
∴所求的概率為1-P( ? ? ),
即1-P( )?P( )?P( )
=1- ? ?
=1-0.993≈0.03.
［例4］已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2.
(1)假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個區(qū)域后被擊中的概率；
(2)要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？
分析：因?yàn)閿硻C(jī)被擊中就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機(jī)的概率.
解：(1)設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為 ? ? ? ? .
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立,
∴敵機(jī)未被擊中的概率
P( ? ? ? ? )
=P( )?P( )?P( )?P( )?P( )
=(1-0.2)5=( )5.
∴敵機(jī)被擊中的概率為1-( )5.
(2)至少需要布置n門高炮才能有0.9以上概率被擊中，仿(1)可得敵機(jī)被擊中的概率為1-( )n,
令1-( )n＞0.9，
即( )n＜ .
兩邊取常用對數(shù)，得n＞ ≈10.3.
∵n∈N*,∴n=11.
∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī).
評述：逆向思維在解決帶有詞語“至多”“至少”的問題時的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡便.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)同一天內(nèi)，甲地下雨的概率是0.12,乙地下雨的概率是0.15,假定在這天兩地是否下雨相互之間沒有影響，那么甲、乙兩地都不下雨的概率是
A.0.102B.0.132
C.0.748D.0.982
答案：C
(2)一名學(xué)生體育達(dá)標(biāo)的概率是 ，他連續(xù)測試2次，那么其中恰有1次達(dá)標(biāo)的概
率為
A. B.
C. D.
答案：C
(3)甲、乙兩人獨(dú)立地解決一道數(shù)學(xué)題，已知甲能解對的概率為m，乙能解對的概率為n,那么這道數(shù)學(xué)題被得到正確解答的概率為
A.m+nB.m?n
C.1-(1-m)(1-n)D.1-m?n
答案：C
(4)甲、乙兩個學(xué)生通過某種英語聽力測試的概率分別為 、 ，兩人同時參加測試，其中有且只有1個通過的概率是
A. B.
C. D.1
答案：C
(5)有10個均勻的正方體玩具，在它的各面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6，每次同時拋出，共拋5次，則至少有一次全部都是同一個數(shù)字的概率是
A.［1-( )10］5B.［1-( )5］10
C.1-［1-( )5］10D.1-［1-( )10］5
答案：D
2.填空題
(1)在甲盒內(nèi)有螺桿200個，其中A型有160個，在乙盒內(nèi)有螺母240個，其中A型有180個，若從甲、乙兩盒內(nèi)各任取一個，則能配套的一對螺桿、螺母的概率是________.
答案：
(2)某種大炮擊中目標(biāo)的概率是0.7,要以m門這種大炮同時射擊一次，就可以擊中目標(biāo)的概率超過0.95,則m的最小值為________.
答案：3
3.解答題
(1)某兩人負(fù)責(zé)照看三臺機(jī)床工作，如果在某一小時內(nèi)機(jī)床不需要照看的概率，第一臺是0.8,第二臺是0.85,第三臺是0.9,假定各臺機(jī)床是否需要照看相互之間沒有影響，計算在這個小時內(nèi)至少有1臺機(jī)床要兩人照看的概率為多少？
解：由題意，可得至少有一臺機(jī)床要照看的概率，
P=1-0.8×0.9×0.85=0.388.
∴至少有1臺要照看的概率為0.388.
(2)某籃球運(yùn)動員在罰球上投籃兩次，已知該運(yùn)動員一次投籃進(jìn)球的概率為0.8，試求下列各事件的概率. ①兩次都未投進(jìn)；
②只有一次投進(jìn)；
③至少有一次投進(jìn)；
④至多有一次投進(jìn).
解：①P=(1-0.8)2=0.04.
②P=0.8×(1-0.8)+0.2×0.8=0.32.
③P=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96.
④P=0.04+0.32=0.36.
(3)一射手射擊時，命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手射擊三次得到不少于27環(huán)的概率.
解：“不少于27環(huán)”即每次不少于9環(huán),
則P=0.33+3×0.7×0.7×0.3+0.73=0.811.
∴不少于27環(huán)的概率為0.811.
(4)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，先命中目標(biāo)者為勝，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率都是 ，每槍都以甲先乙后的順序進(jìn)行比賽，求：
①甲先勝的概率；
②乙先勝的概率.
解：①據(jù)題意,可知甲先勝的概率
P= +…
=
= ? .
②P= ? +…
= ?［1+( )2+( )4+…］
= ? .
評述：逆向思維在解決帶有詞語“至多”“至少”的問題時的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡便.
(5)一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)共有10道單項(xiàng)選擇題,每題都有四個選項(xiàng).評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:考生每答對一題得4分,不答或答錯一題倒扣1分.某考生能正確解答第1~6道題,第7~9題的四個選項(xiàng)中可正確排除其中一個錯誤選項(xiàng).因此該考生從余下的三個選項(xiàng)中猜選一個選項(xiàng).第10題因?yàn)轭}目根本讀不懂,只好亂猜.在上述情況下,試求:
(1)該考生這次測試中得20分的概率;
(2)該考生這次測試中得30分的概率.
解:(1)設(shè)可排除一個錯誤選項(xiàng)的試題答對為事件A,亂猜的一題答對事件為B,
則P(A)= ,P(B)= ,那么得分為20分的事件相當(dāng)于事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次沒有1次發(fā)生而事件B不發(fā)生.
其概率為:
.
答:該考生這次測試中得20分的概率為 .
(2)得30分的事件相當(dāng)于事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次有2次發(fā)生而且事件B不發(fā)生,或事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次只有1次發(fā)生而且事件B發(fā)生.
其概率
.
答：該考生這次測試中得30分的概率為 .
(6)(2004年湖北，文21)為防止某突發(fā)事件發(fā)生,有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用,單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費(fèi)用如下表:
預(yù)防措施甲乙丙丁
P0.90.80.70.6
費(fèi)用(萬元)90603010
預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施.在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下,請確定一個預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.
解:方案一:單獨(dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過120萬元.由表可知采用甲措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為0.9.
方案二:聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施,費(fèi)用不超過120萬元.由表可知聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.
方案三:聯(lián)合采用三種預(yù)防措施,費(fèi)用不超過120萬元,故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施,此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為
1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6) =1-0.2×0.3×0.4=1-0.024=0.976.
綜合上述三種預(yù)防方案，可知在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下,聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］求一位病人服用某藥品被治愈的概率為90%，求服用這種藥的10位患有同樣疾病的病人中至少有7人被治愈的概率.
分析：設(shè)事件A：“服用此藥后病人被治愈，則有P(A)=90%”.
解：∵10位病人獨(dú)立地服用此藥相當(dāng)于10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，至少7人被治愈即是事件A至少發(fā)生7次,
∴所求的概率
P=P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
= ?0.97?0.13+ ?0.98?0.12+ ?0.99?0.1+ ?0.910≈0.98.
［例2］某人參加一次考試，若五道題中解對4道則為及格，已知他解一道題的正確率為0.6,試求他能及格的概率.
分析：設(shè)事件A：“解題一道正確”則P(A)=0.6,由于解題五道相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且他若要獲得及格需解對4題或5題，因此即在5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少發(fā)生4次.
解：設(shè)事件A：“解題一道正確”.
∵解五道題相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且他若要達(dá)到及格需解對其中的4道題或5道題,
∴事件A必須發(fā)生至少4次，其中“發(fā)生4次”與“發(fā)生5次”是互斥的.
∴所求的概率P=P5(4)+P5(5)= ?0.64?0.4+ ?0.65≈0.34.
［例3］設(shè)在一袋子內(nèi)裝有6只白球，4只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子內(nèi)，求在5次取球中.
(1)取得白球3次的概率；
(2)至少有1次取得白球的概率.
分析：設(shè)事件A：“取球一只得白球”，由于每次取出的球又放回袋子內(nèi)，因此取球5次可以看成5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
解：(1)設(shè)事件A：“取球一只，得到白球”，則P(A)= ，根據(jù)題意,可知從袋子里任意取球5次就是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
∵取得白球3次相當(dāng)于事件A發(fā)生3次,
∴所求的概率P5(3)= ( )3( )2≈0.35. (2)∵在上述的5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生0次的概率
P5(0)= ( )0( )5≈0.010,
∴所求的概率為1-P5(0)=1-0.01=0.99.
［例4］某車間的5臺機(jī)床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是 ，求1小時內(nèi)這5臺機(jī)床中至少2臺需要工人照管的概率是多少？
分析：設(shè)事件A：“一臺機(jī)床需要工人照管”，則P(A)= ，且5臺機(jī)床需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).1小時內(nèi)這5臺機(jī)床中至少2臺需要照管就是指事件A至少發(fā)生2次.
解：設(shè)事件A：“一臺機(jī)床需要工人照管”，則有P(A)= .
∵5臺機(jī)床需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),
而事件A至少發(fā)生2次的概率為
1-［P5(1)+P5(0)］=1-［ ( )( )4+ ( )0( )5］≈0.37,
∴所求概率為0.37.
［例5］某人對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少應(yīng)射擊n次？
分析：設(shè)至少射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25.由于“射擊n次至少命中1次”與“射擊n次命中0次”是對立事件，故射擊n次，至少命中1次的概率為1-Pn(0).
解：設(shè)至少應(yīng)射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25.
∵射擊n次相當(dāng)于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),
∴事件A至少發(fā)生1次的概率為
1-Pn(0)=1- (0.25)0?(1-0.25)n=1-0.75n.
令1-( )n≥ ,∴( )n≤ ,即
n≥ ≈4.82.
∵n∈N*,∴n=5.
∴至少射擊5次.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)在某一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為P，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 出現(xiàn)k次的概率為
A.1-PkB.(1-P)k?Pn-k
C.1-(1-P)kD. (1-P)kPn-k
答案：D
(2)設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為P，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率為Pk,則
A.P1+P2+…+Pn=0B.P0+P1+P2+…+Pn=1
C.P0+P1+P2+…+Pn=0D.P1+P2…+Pn=1
答案：B
2.填空題
(1)從次品率為0.05的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有2件次品的概率為________.
答案： 0.052(1-0.05)2
(2)某事件在5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，一次也沒有發(fā)生的概率為P5(0)，恰有一次發(fā)生的概率為P5(1)，則該事件至少發(fā)生1次的概率為________.
答案：1-［P5(0)+P5(1)］
3.解答題
(1)某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺車床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為 ，求：
①在任一時刻車間里有3臺車床處于停車的概率；
②至少有一臺處于停車的概率.
解：①P= ( )3(1- )2≈0.11.
②P=1- ( )0(1- )5≈0.13.
(2)種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活3棵的概率；
④至少成活4棵的概率.
解：①P=0.95≈0.59.
②P=(1-0.9)5=0.15.
③P= ?0.93(1-0.9)2≈0.073.
④P= ?0.94(1-0.9)+ 0.95≈0.92.
(3)用8門炮摧毀某一目標(biāo)，如果至少命中2發(fā)時，目標(biāo)就被摧毀，假定每門炮命中目標(biāo)的概率都是0.6,若8門炮同時向目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，求目標(biāo)被摧毀的概率.
解：分析題意可知“至少要有2門命中目標(biāo)”其概率
P=1-P8(0)-P8(1) =1- 0.60(1-0.6)8- ?0.6?(1-0.6)7≈0.99.
(4)在抗菌素的生產(chǎn)中，常常需要優(yōu)良菌株，若一只菌株變成優(yōu)良菌株的概率是0.05,那么，從一大批經(jīng)過誘變處理的菌株中，選擇多少株進(jìn)行培養(yǎng)，就能有95%以上的把握至少選到一只優(yōu)良菌株？
解：設(shè)選n只菌株進(jìn)行培養(yǎng)可得到優(yōu)良菌株,
∴1-Pn(0)=1- 0.050(1-0.05)n=1-0.95n≥0.95.
∴n=58.
∴至少選擇58株.
(5)甲、乙兩人下棋，在每盤比賽中，甲取勝的概率為0.5,乙取勝的概率為0.4，平局的概率為0.1,他們決定不管如何都要下完三盤棋，誰勝兩盤以上(含兩盤)誰就是最后的勝利者，分別計算甲、乙獲勝的概率.
解：甲獲勝的概率
P1=3×0.52×(1-0.5)+3×0.52×0.1+0.53
=4×0.53+0.52×0.3=0.575.
乙獲勝的概率
P2=3×0.42×(1-0.4)+3×0.42×0.1+0.43=0.4.
(6)甲、乙兩人投籃，命中率各為0.7和0.6,每人投球三次，求下列事件的概率：
①兩人都投進(jìn)2球；
②兩人投進(jìn)的次數(shù)相等.
解：①P=［ 0.72?(1-0.7)］×［ 0.62(1-0.6)］≈0.19.
②P= [ 0.70?(1-0.7)3? 0.60?(1-0.6)3]+ [ 0.7(1-0.7)2? 0.6(1-0.6)2]+ [ 0.72(1-0.7)? 0.62?(1-0.6)]+ [ ?0.73(1-0.7)0? 0.63(1-0.6)0]≈0.148.
(7)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，求在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率.
解：據(jù)題意,可知
所求概率
P= p(1-p)n-1+ p3(1-p)n-3+ p5(1-p)n-5+…+ {[(1-p)+p]n+ [(1-p)-p]n}= + (1-2p)n.

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