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第十章 圓錐曲線
★知識網(wǎng)絡★



第1講 橢圓
★知識梳理★
1. 橢圓定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點 的距離之和為常數(shù) 的動點 的軌跡叫橢圓,其中兩個定點 叫橢圓的焦點.
當 時, 的軌跡為橢圓 ; ;
當 時, 的軌跡不存在;
當 時, 的軌跡為 以 為端點的線段
（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點 與定直線 (定點 不在定直線 上)的距離之比是常數(shù) ( )的點的軌跡為橢圓
（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.


2.橢圓的方程與幾何性質:
標準方程



性

質參數(shù)關系

焦點


焦距

范圍


頂點


對稱性關于x軸、y軸和原點對稱
離心率

準線



3.點 與橢圓 的位置關系:
當 時,點 在橢圓外; 當 時,點 在橢圓內(nèi); 當 時,點 在橢圓上;
4.直線與橢圓的位置關系
直線與橢圓相交 ;直線與橢圓相切 ;直線與橢圓相離
★重難點突破★
重點:掌握橢圓的定義標準方程，會用定義和求橢圓的標準方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質及其應用
難點:橢圓的幾何元素與參數(shù) 的轉換
重難點:運用數(shù)形結合，圍繞“焦點三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質，把握幾何元素轉換成參數(shù) 的關系
1.要有用定義的意識
問題1已知 為橢圓 的兩個焦點，過 的直線交橢圓于A、B兩點若 ，則 =______________。
[解析] 的周長為 ， =8
2.求標準方程要注意焦點的定位
問題2橢圓 的離心率為 ，則
[解析]當焦點在 軸上時， ；
當焦點在 軸上時， ，
綜上 或3
★熱點考點題型探析★
考點1 橢圓定義及標準方程
題型1:橢圓定義的運用
[例1 ] (湖北部分重點中學2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的運行路徑分三種情況:
(1) ,此時小球經(jīng)過的路程為2(a－c);
(2) , 此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);
(3) 此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D
【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面
【新題導練】
1. （2007?佛山南海）短軸長為 ，離心率 的橢圓兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為（ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=12
2. (廣雅中學2008—2009學年度上學期期中考)已知 為橢圓 上的一點， 分別為圓 和圓 上的點，則 的最小值為（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點， ， 的最小值為10-1-2=7
題型2 求橢圓的標準方程
[例2 ]設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為 －4，求此橢圓方程.
【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù) 的式子“描述”出來
[解析]設橢圓的方程為 或 ，
則 ，
解之得： ，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為 或 .
【名師指引】準確把握圖形特征，正確轉化出參數(shù) 的數(shù)量關系．
［警示］易漏焦點在y軸上的情況．
【新題導練】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是____________.
[解析](0,1). 橢圓方程化為 + =1. 焦點在y軸上，則 >2，即k<1.
又k>0，∴04.已知方程 ,討論方程表示的曲線的形狀
[解析]當 時， ，方程表示焦點在y軸上的橢圓，
當 時， ，方程表示圓心在原點的圓，
當 時， ，方程表示焦點在x軸上的橢圓
5. 橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是 ，求這個橢圓方程.
[解析] ， ，所求方程為 + =1或 + =1.
考點2 橢圓的幾何性質
題型1:求橢圓的離心率（或范圍）
[例3 ] 在 中， ．若以 為焦點的橢圓經(jīng)過點 ，則該橢圓的離心率 ．
【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率
[解析] ，
，

【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定
（2）只要列出 的齊次關系式，就能求出離心率（或范圍）
（3）“焦點三角形”應給予足夠關注
【新題導練】
6. (執(zhí)信中學2008-2009學年度第一學期高三期中考試)如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為
. . . .
[解析]選
7. （江蘇鹽城市三星級高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考）已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓 的離心率為
[解析]由 ，橢圓 的離心率為
8. (山東濟寧2007—2008學年度高三第一階段質量檢測)
我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地球運行的軌跡是以地球的地心為焦點的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點到地心的距離為m，遠地點到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點是指衛(wèi)星距離地面最近的點，遠地點是距離地面最遠的點），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率（ ）
A．不變 B. 變小 C. 變大 D.無法確定
[解析] ， ，選A
題型2:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）
[例4 ] 已知實數(shù) 滿足 ,求 的最大值與最小值
【解題思路】 把 看作 的函數(shù)
[解析] 由 得 ,


當 時, 取得最小值 ,當 時, 取得最大值6
【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時不出差錯
【新題導練】
9.已知點 是橢圓 （ ， ）上兩點,且 ,則 =
[解析] 由 知點 共線,因橢圓關于原點對稱,
10.如圖，把橢圓 的長軸 分成 等份，過每個分點作 軸的垂線交橢圓的上半部分于 七個點， 是橢圓的一個焦點
則 ________________
［解析］由橢圓的對稱性知： ．
考點3 橢圓的最值問題
題型: 動點在橢圓上運動時涉及的距離、面積的最值
[例5 ]橢圓 上的點到直線l: 的距離的最小值為___________．
【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)
[解析]在橢圓上任取一點P,設P( ). 那么點P到直線l的距離為：
　 　　
【名師指引】也可以直接設點 ，用 表示 后，把動點到直線的距離表示為 的函數(shù)，關鍵是要具有“函數(shù)思想”
【新題導練】
11.橢圓 的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
[解析]設內(nèi)接矩形的一個頂點為 ，
矩形的面積
12. 是橢圓 上一點， 、 是橢圓的兩個焦點，求 的最大值與最小值
[解析]
當 時， 取得最大值 ，
當 時， 取得最小值
13. （2007?惠州）已知點 是橢圓 上的在第一象限內(nèi)的點，又 、 ，
是原點，則四邊形 的面積的最大值是_________．
[解析] 設 ，則
考點4 橢圓的綜合應用
題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題
[例6 ] 已知橢圓 的中心為坐標原點 ,一個長軸端點為 ,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線 與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且 ．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍．
【解題思路】通過 ，溝通A、B兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數(shù)關系得到一個關于m的不等式
[解析]（1）由題意可知橢圓 為焦點在 軸上的橢圓，可設
由條件知 且 ，又有 ，解得
故橢圓 的離心率為 ，其標準方程為：
（2）設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2， x1x2＝m2－1k2＋2　
∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　
m2＝14時，上式不成立；m2≠14時，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝2－2m24m2－1>0，∴－1容易驗證k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（－1，－12）∪（12，1）
【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能
【新題導練】
14. (2007?廣州四校聯(lián)考)設過點 的直線分別與 軸的正半軸和 軸的正半軸交于 、 兩點，點 與點 關于 軸對稱， 為坐標原點，若 ，且 ，則 點的軌跡方程是 （ ）
A. B.
C. D.
[解析] ，選A.
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 。一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持PA+PB的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的方程；
（2）設直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。

解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標系，則A（－1，0），B（1，0）
由題設可得

∴動點P的軌跡方程為 ，
則
∴曲線E方程為
（2）直線MN的方程為
由

∴方程有兩個不等的實數(shù)根

∵∠MBN是鈍角

即
解得：
又M、B、N三點不共線

綜上所述，k的取值范圍是
★～～搶分頻道★
基礎鞏固訓練
1. 如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線 與BF交于D,且 ,則橢圓的離心率為( )
A B C D
[解析] B .
2. （廣東省四校聯(lián)合體2007-2008學年度聯(lián)合考試）設F1、F2為橢圓 +y2=1的兩焦點，P在橢圓上，當△F1PF2面積為1時， 的值為
A、0　　B、1　　C、2　　D、3
[解析] A . ， P的縱坐標為 ，從而P的坐標為 ， 0，
3. (廣東廣雅中學2008—2009學年度上學期期中考)橢圓 的一條弦被 平分,那么這條弦所在的直線方程是
A． B． C． D．
[解析] D. , ,兩式相減得： ， ，
4.在 中， ， ．若以 為焦點的橢圓經(jīng)過點 ，則該橢圓的離心率 ．
[解析]
5. 已知 為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若 , 則此橢圓的離心率為 _________.
[解析] [三角形三邊的比是 ]
6. (2008江蘇)在平面直角坐標系中，橢圓 1( 0)的焦距為2，以O為圓心， 為半徑的圓，過點 作圓的兩切線互相垂直，則離心率 = ．
[解析]
綜合提高訓練
7、已知橢圓 與過點A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率 ．求橢圓方程
[解析]直線l的方程為：
　　由已知 �、�
由 　得：
　　∴ ，即 　②
由①②得：
　　故橢圓E方程為
8. (廣東省汕頭市金山中學2008－2009學年高三第一次月考)
已知A、B分別是橢圓 的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P ）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求 的值。
[解析]（1）∵點 是線段 的中點
∴ 是△ 的中位線
又 ∴
∴
∴橢圓的標準方程為 =1
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點
∴AC＋BC＝2a＝ ，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，
∴ ＝
9. (海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二)已知長方形ABCD, AB=2 ,BC=1.以AB的中點 為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系 .
(Ⅰ)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(0,2)的直線 交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線 ,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由.

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