§2.1 數(shù)列的概念
一、知識(shí)要點(diǎn)
1、數(shù)列的定義：按照一定 排列的一列數(shù)叫數(shù)列.數(shù)列中的 都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首 項(xiàng)），第2項(xiàng), …,第n項(xiàng), …數(shù)列的一般形式可以寫成： ，其中 是數(shù)列的 ，叫做數(shù)列的 ，我們通常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作 。
2、數(shù)列的表示:
(1)列舉法:將每一項(xiàng)一一列舉出表示數(shù)列的方法.
(2)圖像法:由(n,an)點(diǎn)構(gòu)成的一些孤立的點(diǎn);
(3)解析法:用通項(xiàng)公式an=f(n)（ ）表示.
通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{ }中的第n項(xiàng) 與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，則稱此公式為數(shù)列的 .
數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：
①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；
②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).
思考與討論:
①數(shù)列與數(shù)集有什么區(qū)別？
與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)；
確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的。
可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)。
有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序也有關(guān)。
②是否所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式？
③{ }與 有什么區(qū)別？
⑷遞推公式法:用前n項(xiàng)的值與它相鄰的項(xiàng)之間的關(guān)系表示各項(xiàng). 遞推公式也是求數(shù)列的一種重要的方法，但并不是所有的數(shù)列都有遞推公式。

3、數(shù)列與函數(shù)
從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)?（或它的 ）的函數(shù) ，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的 是相應(yīng)的函數(shù)的解析式，它的圖像是 。
4、數(shù)列分類：
按項(xiàng)數(shù)分類： ， .
按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類： ，
， ， .
5、任意數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)
= a1+ a2+ a3+ ……+ an

6、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：
最大 最小 ，考慮數(shù)列的單調(diào)性.
二、典例分析
題型1: 用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例1、根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)，寫出一個(gè)通項(xiàng).
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶ ， ， …；
⑷ ， ， ， ，…；
⑸ ， ， ， ， ，…；
根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的規(guī)律，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面考慮：
⑴通常先將每項(xiàng)分解成幾部分（如符號(hào)、絕對(duì)值、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系寫通項(xiàng).
⑵正負(fù)相間的問題，符號(hào)用（－1）n或（－1）n+1調(diào)節(jié)，這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò).
⑶分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.
⑷較復(fù)雜的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可借助一些熟知數(shù)列，如數(shù)列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10¬¬—n }等.
⑸有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可用分段函數(shù)形式表示.
題型2: 運(yùn)用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)
例2、已知數(shù)列 的前n項(xiàng)的和 .
⑴寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
⑵判斷 的單調(diào)性.

題型3:運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題
例3、已知數(shù)列 中， 它的最小項(xiàng)是（ ）
A.第一項(xiàng)B.第二項(xiàng)C.第三項(xiàng)D. 第二項(xiàng)或第三項(xiàng)
題型4: 遞推數(shù)列
例4、⑴若數(shù)列 中， ，且各項(xiàng)滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)．
⑵已知數(shù)列{an}中， ，且各項(xiàng)滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng).
三、時(shí)作業(yè)
1.數(shù)列 …的一個(gè)通項(xiàng)公式是 （ ）
. .
. .
2.已知數(shù)列 滿足 ,則數(shù)列 是( )
A. 遞增數(shù)列B. 遞減數(shù)列C. 擺動(dòng)數(shù)列D. 常數(shù)列
3.已知數(shù)列 的首項(xiàng) 且 ,則 等于( )
A. B. C. D.
4.已知數(shù)列 中, ,
則 等于( )
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列 對(duì)任意的 滿足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和 ，第 項(xiàng)滿足 ，則 （ ）
A． B． C. D．
7.數(shù)列 ，…，則按此規(guī)律， 是這個(gè)數(shù)列的第 項(xiàng).
8.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，則 = ， 65是它的第 項(xiàng).
9.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x應(yīng)為_______.
10.寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：
① ， ， ， ，．．．；　
② ， ， ， ，．．．；
③ ， ， ， ，．．．；
④ ， ， ， ， ，．．．；　
⑤ ， ， ， ，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知數(shù)列
（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
（2） 是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？
（3）求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
（4）在區(qū)間 內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若無，說明理由.

12.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .
(1)試問 是否是數(shù)列 中的項(xiàng)?
(2)求數(shù)列 的最大項(xiàng).

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