1.2 類比推理
過程
一．問題情境
從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.
他的思路是這樣的：
茅草是齒形的；茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.
這個推理過程是歸納推理嗎？
二．數(shù)學活動
我們再看幾個類似的推理實例。
例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。
等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？
例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比.
圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.
球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.
圓 球
弦←→截面圓
直徑←→大圓
周長←→表面積
面積←→體積
圓的性質(zhì)球的性質(zhì)
圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓
與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大
圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點
經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心
☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．
簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．
類比推理的一般步驟：
⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；
⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；
⑶ 檢驗猜想。即

例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:

試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.
鞏固提高
1．(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為-----------------------------
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2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．

直角三角形 3個面兩兩垂直的四面體
∠C＝90°
3個邊的長度a，b，c
2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4個面的面積S1，S2，S3和S
3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S

3．（2004，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
已知數(shù)列 是等和數(shù)列，且 ，公和為5，那么 的值為______________，這個數(shù)列的前n項和 的計算公式為________________
1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。
2．類比推理的一般步驟：
①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

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