§3.1.2 共面向量定理

一、知識要點(diǎn)
1.共面向量定義：
2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量 不共線，那么向量 與向量 共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組 ，使得 。
二、典型例題
例1.如圖所示，已知矩形 和矩形 所在平面相交于 ，點(diǎn) 分別在對角線 上，且 ，求證： 。

例2.設(shè)空間任意一點(diǎn) 和不共線三點(diǎn) ，若點(diǎn) 滿足向量關(guān)系
(其中 )。試問： 四點(diǎn)是否共面？


思考：由 ，你能得到什么結(jié)論？

例3.已知四棱錐 的底面是平行四邊形， 是 的中點(diǎn)，求證： 。

三、鞏固練習(xí)
1.在四面體 中，點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn)，問： 與 ， 是否共面？

2.已知空間向量 ，若存在實(shí)數(shù)組 和 滿足 ， ，且 ，試證明向量 共面。

3.已知 是 所在平面外一點(diǎn)，連 ，點(diǎn) 分別是 ， 的重心，求證：⑴ 共面；⑵ 。


四、小結(jié)
五、課后作業(yè)
1. 不共線時(shí)， 與 的關(guān)系是 ；
A.共面B.不共面C.共線D.無法確定
2.已知正方體 的中心為 ，則在下列各結(jié)論中正確的共有 (寫出序號)
① 與 是一對相反向量；② 與 是一對相反向量；
③ 與 是一對相反向量；
④ 與 是一對相反向量。
3.非零向量 不共線，若 與 共線，則 ；
4.在長方體 中，化簡向量表達(dá)式 的結(jié)果是 ；
5.⑴對于空間任一點(diǎn) 和不共線的三點(diǎn) ，且有 則“ ”是“ 四點(diǎn)共面”的 條件。
⑵已知 四點(diǎn)共面且對于空間任一點(diǎn) ，都有 ，則 = ；
6.在 中，已知 是 邊上的點(diǎn)，若 ，則 等于 ；
7. 是異面直線， 分別是 的中點(diǎn)，證明 。


8.在平行六面體 中， 是 的中點(diǎn)，求證： 。

9.在正方體 中， 是 的中點(diǎn)， 在 上且 ，求證： 四點(diǎn)共面。

10.如圖，從 所在平面外一點(diǎn) 作向量
求證：⑴ 四點(diǎn)共面；⑵面 。


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