高考要求
　　1．掌握求已知曲線的軸對稱曲線和中心對稱曲線方程的方法：結(jié)合曲線對稱的定義，用求曲線方程的方法求對稱曲線的方程(歸結(jié)為點的對稱)
2．掌握判斷曲線關(guān)于幾種特殊直線對稱的方法:①y=x; ②x軸;③y軸
知識點歸納
1 點關(guān)于點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標公式的應(yīng)用問題
設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對稱點為P′（2a－x0，2b－y0）
2 點關(guān)于直線成軸對稱問題
由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線” 利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對頂點的坐標 一般情形如下：
設(shè)點P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P′（x′，y′），則有
，可求出x′、y′
特殊地，點P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點為P′（2a－x0，y0）；點P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對稱點為P′（x0，2b－y0）
3 曲線關(guān)于點、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題：一般是轉(zhuǎn)化為點的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉(zhuǎn)化） 一般結(jié)論如下：
（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2a－x，2b－y）=0
（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：
設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點為P（x0，y0），P點關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P′（y，x），則由（2）知，P與P′的坐標滿足
從中解出x0、y0，
代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0 利用坐標代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線方程
4 兩點關(guān)于點對稱、兩點關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論：
（1）點（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為（x，－y）；
（2）點（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為（－x，y）；
（3）點（x，y）關(guān)于原點的對稱點為（－x，－y）；
（4）點（x，y）關(guān)于直線x－y=0的對稱點為（y，x）；
（5）點（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對稱點為（－y，－x）
題型講解
例1 求直線a：2x+y－4=0關(guān)于直線l：3x+4y－1=0對稱的直線b的方程
分析：由平面幾何知識可知若直線a、b關(guān)于直線l對稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對稱點B一定在直線b上，這時AB⊥l，并且AB的中點D在l上；（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°，一定與b重合 使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的方程 解此題的方法很多，總的來說有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個條件，選擇適當?shù)闹本�方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程
解：由 ，解得a與l的交點E（3，－2），E點也在b上
方法一：設(shè)直線b的斜率為k，
又知直線a的斜率為－2，直線l的斜率為－
則 =
解得k=－
代入點斜式得直線b的方程為
y－（－2）=－ （x－3），
即2x+11y+16=0
方法二：在直線a：2x+y－4=0上找一點A（2，0），設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點B的坐標為（x0，y0），
由 解得B（ ，－ ）
由兩點式得直線b的方程為
= ，
即2x+11y+16=0
方法三：設(shè)直線b上的動點P（x，y）關(guān)于l：3x+4y－1=0的對稱點Q（x0，y0），則有
解得x0= ，y0=
Q（x0，y0）在直線a：2x+y－4=0上，
則2× + －4=0，
化簡得2x+11y+16=0是所求直線b的方程
方法四：設(shè)直線b上的動點P（x，y），直線a上的點Q（x0，4－2x0），且P、Q兩點關(guān)于直線l：3x+4y－1=0對稱，則有

消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）
點評：本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑，方法一與方法二，除了點E外，分別找出確定直線位置的另一個條件：斜率或另一個點，然后用點斜式或兩點式求出方程，方法三與方法四是利用直線上動點的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這種方法時，要注意區(qū)分動點坐標及參數(shù)，本題綜合性較強，只有對坐標法有較深刻的理解，同時有較強的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題
例2 光線從點A（－3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點B（－2，6），求射入y軸后的反射線的方程
分析：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線關(guān)于法線對稱
解：∵A（－3，4）關(guān)于x軸的對稱點A1（－3，－4）在經(jīng)x軸反射的光線上，
同樣A1（－3，－4）關(guān)于y軸的對稱點A2（3，－4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，
∴k = =－2
故所求直線方程為y－6=－2（x+2），
即2x+y－2=0
點評：注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透
例3 已知點M（3，5），在直線l：x－2y+2=0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ的周長最小
分析：如下圖，作點M關(guān)于直線l的對稱點M1，再作點M關(guān)于y軸的對稱點M2，連結(jié)MM1、MM2，連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點，由軸對稱及平面幾何知識，可知這樣得到的△MPQ的周長最小
解：由點M（3，5）及直線l，可求得點M關(guān)于l的對稱點M1（5，1） 同樣容易求得點M關(guān)于y軸的對稱點M2（－3，5）
據(jù)M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為x+2y－7=0
令x=0，得到M1M2與y軸的交點Q（0， ）
解方程組 得交點P（ ， ）
故點P（ ， ）、Q（0， ）即為所求
點評：恰當?shù)乩�用平面幾何的知識對解題能起到事半功倍的效果
例4 若拋物線 上總存在關(guān)于直線 的異于交點的兩個對稱點，試求實數(shù) 的取值范圍
解法一：（對稱曲線相交法）
曲線 關(guān)于直線 對稱的曲線方程為
如果拋物線 上總存在關(guān)于直線 對稱的兩點，則兩曲線
與 必有不在直線 上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由：

∵　 　
∴　
代入 得　 有兩個不同的解，
∴　
解法二：（對稱點法）
設(shè)拋物線 上存在異于于直線 的交點的點 ，且 關(guān)于直線 的對稱點 也在拋物線 上
則
必有兩組解
(1)-(2)得
必有兩個不同解
∵ ，
∴ 有解
從而有 有兩個不等的實數(shù)解
即 有兩個不等的實數(shù)解
∴
∵ ，
∴
解法三：（點差法）
設(shè)拋物線 上以 為端點的弦關(guān)于直線 對稱，且以 為中點是拋物線 （即 ）內(nèi)的點
從而有　
由
(1)-(2)得 　
∴　
由
從而有　
例5 試確定 的取值范圍，使得橢圓 上有不同兩點關(guān)于直線 對稱
解：設(shè)橢圓 上以 為端點的弦關(guān)于直線 對稱，且以 為中點是橢圓 內(nèi)的點
從而有　
由
(1)-(2)得 　
∴　
由
由 在直線 上
從而有　
小結(jié)：
1 對稱問題的核心是點關(guān)于點的中心對稱和點關(guān)于直線的軸對稱，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為這兩類對稱中的一種加以處理
2 許多問題都隱含著對稱性，要注意挖掘、充分利用對稱變換來解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等
3 對稱問題除了用中點坐標公式及斜率關(guān)系來求以外，還可以用求軌跡的思想??代入法來求解
學(xué)生練習
1 已知點M（a，b）與N關(guān)于x軸對稱，點P與點N關(guān)于y軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線x+y=0對稱，則點Q的坐標為
A （a，b） B （b，a）C （－a，－b） D （－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），則Q（b，a）．
答案：B
2 曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是
A y2=8－4x B y2=4x－8 C y2=16－4x D y2=4x－16
解：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線為C，在曲線C上任取一點P（x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對稱點為Q（4－x，y） 因為Q（4－x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4－x），即y2=16－4x
答案：C
3 已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對稱的充要條件是
A = B p=－5 C m=－n且p=－5 D =－ 且p=－5
解析：直線l1關(guān)于y軸對稱的直線方程為（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，與l2比較，∴m=－n且p=－5 反之亦驗證成立
答案：C
4 點A（4，5）關(guān)于直線l的對稱點為B（－2，7），則l的方程為______
解析：對稱軸是以兩對稱點為端點的線段的中垂線
答案：3x－y+3=0
5 設(shè)直線x+4y－5=0的傾斜角為θ，則它關(guān)于直線y－3=0對稱的直線的傾斜角是____________
答案：π－θ
6．一個以原點為圓心的圓與圓x2+y2+8x─4y=0關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程是
答案：2x─y+5=0
7．直線y=3x─4關(guān)于點P(2,─1)對稱的直線l的方程是
答案：3x─y─10=0 用求方程的方法或幾何性質(zhì)(平行)均可
8．方程x2+y2+2ax─2ay=0所表示的圓的對稱軸方程為
答案：x+y=0提示：點(x,y)與點(─y,─x)關(guān)于直線x+y=0對稱
9．如果直線ax─y+3=0與直線3x─y─b=0關(guān)于直線x─y+1=0對稱，則a= , b=
答案：1/3, 5 說明：掌握k=±1時，求對稱點的方法
10 已知圓C與圓 關(guān)于直線y=－x對稱，則圓C的方程為
A （x+1）2+y2=1 B x2+y2=1 C x2+（y+1）2=1 D x2+（y－1）2=1
解：由M（x，y）關(guān)于y=－x的對稱點為（－y，－x），即得x2+（y+1）2=1
答案：C
11 與直線x+2y－1=0關(guān)于點（1，－1）對稱的直線方程為
A 2x－y－5=0 B x+2y－3=0 C x+2y+3=0 D 2x－y－1=0
解：將x+2y－1=0中的x、y分別代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0 故選C
答案：C
12 兩直線y= x和x=1關(guān)于直線l對稱，直線l的方程是____________
解：l上的點為到兩直線y= x與x=1距離相等的點的集合，即 =｜x－1｜，化簡得x+ y－2=0或3x－ y－2=0
答案：x+ y－2=0或3x－ y－2=0
13 直線2x－y－4=0上有一點P，它與兩定點A（4，－1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點的坐標是____________
解：易知A（4，－1）、B（3，4）在直線l：2x－y－4=0的兩側(cè) 作A關(guān)于直線l的對稱點A1（0，1），當A1、B、P共線時距離之差最大
答案：（5，6）
14 已知曲線C：y=─x2+x+2關(guān)于點(a,2a)對稱的曲線是C/,若C與C/有兩個不同的公共點,求a的取值范圍
解：曲線C/的方程為y=x2+(1─4a)x+(4a2+2a─2),聯(lián)立C與C/的方程并消去y得：x2─2ax+2a2+a─2=0, 由Δ>0得：─215．自點A(─3,3)發(fā)出的光線 射到x軸上，被x軸反射，其反射光線m所在直線與圓x2+y2─4x─4y+7=0相切，求光線 與m所在的直線的方程
解：圓C：(x─2)2+(y─2)2=1關(guān)于x軸的對稱圓C/的方程是(x─2)2+(y+2)2=1 設(shè)光線 所在的直線方程是y─3=k(x+3),依題意,它是圓C/的切線，從而點C/到直線 的距離為1,∴ =1,解得：k=─3/4或k=─4/3, ∴ 的方程是3x+4y─3=0或4x+3y+3=0,同理求過點A/(─3,─3)的圓C的切線方程,得m的方程為3x─4y─3=0或4x─3y+3=0
16．已知兩曲線y=─x2+4x─2與y2=x關(guān)于直線 對稱,求直線 的方程
解：拋物線y=─x2+4x─2的頂點坐標P1(2,2),拋物線y2=x的頂點為Q(0,0),
∴直線 就是PQ的垂直平分線x+y─2=0
17 求函數(shù)y= + 的最小值
解：因為y= + ，
所以函數(shù)y是x軸上的點P（x，0）與兩定點A（0，3）、B（4，3）距離之和 y的最小值就是PA+PB的最小值 由平面幾何知識可知，若A關(guān)于x軸的對稱點為A ′（0，－3），則PA+PB的最小值等于A′B，
即 =4 所以ymin=4
18 若拋物線y=2x2上的兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對稱且x1x2=－ ，求m的值
解：設(shè)直線AB的方程為y=－x+b，代入y=2x2得2x2+x－b=0，
∴x1+x2=－ ，x1x2= =－ ∴b=1，即AB的方程為y=－x+1
設(shè)AB的中點為M（x0，y0），則x0= =－ ，代入y0=－x0+1，

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/70950.html

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