2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)Ⅰ試題 命題單位：常州市教育科學(xué)研究院 2014．3參考公式：柱體的體積公式：V柱體=，其中S是柱體的底面積，h是高． 直棱柱的側(cè)面積公式：S直棱柱側(cè)=ch，其中c是直棱柱的底面周長(zhǎng)，h是高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，則2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則3．已知雙曲線的離心率為，．，2；，3；，4；，5；，4；，2上的頻率是 ▲ ．5．如所示圖則后輸出的等于．，若，則的值為 ▲ ．7．( ABCD 的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，則PC與底面ABCD所成角的正切值為 ▲ ．8．從甲乙丙丁4人中人，則甲乙的概率為．，，則的值為 ▲ ．10．的前項(xiàng)和為，若，，，則正整數(shù)= ▲ ．11．已知正數(shù)滿足，則的最小值為12．，設(shè)∥，若，則的值為 ▲ ． 13．已知函數(shù)恰兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為14．中，已知點(diǎn)內(nèi)過(guò)點(diǎn)且交圓于兩點(diǎn)，若的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）設(shè)． （1）求的最小正周期和值域在中角的對(duì)邊分別為且，，求．16．（本小題滿分14分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形， 且，是的中點(diǎn)．1）求證平面平面求證∥平面．17．（本小題滿分14分）一個(gè)圓柱形圓木底面半徑為，長(zhǎng)為圓木沿軸剖成兩個(gè)部分一部分加工成四棱柱木底面為等腰梯形在半圓上），設(shè)，木3），表面積為S（單位：m2）．θ的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的值，使體積最大當(dāng)木的體積最大時(shí)，其表面積是否也最大18．（本小題滿分16分）如圖，中，已知，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．（1）求橢圓方程；求；在橢圓上異于，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．19．（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)一切都成立．λ = 1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)．的極值；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求，若對(duì)任意給定的，在上總存在，使 成立，求的取值范圍．2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一） 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 命題單位：常州市教育科學(xué)研究院 2014．321．【選做題】在A、B、C、D 10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．A．選修4―1：幾何證明選講如圖為四邊形的外接，且，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線與圓相切．求證：．4―2：矩陣與變換 已知，，計(jì)算4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．．D．選修4―5：不等式選講 已知，若函數(shù)的圖象恒在軸上方，求的取值范圍．22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22．（本小題滿分10分） 甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行投籃游戲，已知他們一次投籃中的概率均為甲同學(xué)決定投次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過(guò)5次．求至少有次投中的概率求投籃次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．23．（本小題滿分10分）設(shè)，，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．證明：當(dāng)時(shí)，記，求的值．2014年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．1． 2． 3. 4 4. 5．63 6．2 7． 8. 9． 10．13 11．9 12． 13. 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15. 解==． …………………3分所以的最小正周期為分值域?yàn)榉钟傻脼殇J角，，∴． …………………9分，，∴． …………………10分． …………………12分． …………………14分16．（1）證明 為菱形，且，為正三角形分是的中點(diǎn)，． ∵，是的中點(diǎn) ． …………………4分，平面分平面，平面平面分證明連結(jié)，連結(jié)∵三棱柱側(cè)面是平行四邊形，為中點(diǎn)分中，又∵是的中點(diǎn)，∥． …………………12分平面，平面， ∥平面分17解的面積=，． …………………2分體積分．令，得，或，∴． …………………5分時(shí)，，為增函數(shù)時(shí)，，為減函數(shù)分時(shí)體積最大8分木的面積，． =，．…………………10分設(shè)．∵，當(dāng)時(shí)，最大12分又由知時(shí)，取最大值，所以時(shí)木的表面積最大13分綜上，當(dāng)木的體積最大時(shí)，其表面積也最大14分18解由， 解得分所以橢圓的方程為3分，則中點(diǎn)為直線的方程為，．① 又∵點(diǎn)在橢圓上，．② 由①②，解得（舍），，從而． …………………5分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為6分，，．∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．…………………8分三點(diǎn)共線，∴，整理，得．…………………10分在橢圓上，，． 從而． …………………14分所以15分為定值，定值為． …………………16分19．解：（1）若λ = 1，則，．又∵， ∴， ………………… 2分∴， 化簡(jiǎn)，得．① ………………… 4分∴當(dāng)時(shí)，．②② ( ①，得，∴（）． ………………… 6分 ∵當(dāng)n = 1時(shí)， ，∴n = 1時(shí)上式也成立，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n(1（）． …………………8分（2）令n = 1，得．令n = 2，得． ………………… 10分要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． ………………… 11分當(dāng)λ = 0時(shí)，，且．當(dāng)n≥2時(shí)，，整理，得，， ………………… 13分從而，化簡(jiǎn)，得，所以． ……………… 15分綜上所述，（），所以λ = 0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列． ………………… 16分20．解：（1），，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x（(∞，1）1（1，(∞）(0(g(x)?極大值?∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無(wú)極小值． …………………3分（2）當(dāng)時(shí)，，．∵在恒成立在上為增函數(shù)設(shè)，> 0在恒成立在上為增函數(shù)設(shè)則等價(jià)于，． 設(shè)，在為減函數(shù)在上恒成立恒成立設(shè)=，x([3，4]，∴，∴
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