3.4　不等式的實(shí)際應(yīng)用 優(yōu)化訓(xùn)練
1．銀行計(jì)劃將某資金給項(xiàng)目M和N投資一年，其中40%的資金給項(xiàng)目M,60%的資金給項(xiàng)目N，項(xiàng)目M能獲得10%的年利潤，項(xiàng)目N能獲得35%的年利潤，年終銀行必須回籠資金，同時(shí)按一定的回扣率支付給儲(chǔ)戶．為了使銀行年利潤不小于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲(chǔ)戶回扣率的最小值為(　　)
A．5%　　　　　　　　B．10%
C．15% D．20%
解析：選B.設(shè)共有資金a元，給儲(chǔ)戶的回扣率為x，由題意，得0.1a≤0.1×0.4a＋0.35×0.6a－xa≤0.15a，解得0.1≤x≤0.15.
2．《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分段計(jì)算：
全月應(yīng)納稅所得額稅率
不超過500元的部分5%
超過500元至2000元的部分10%
超過2000元至5000元的部分15%
………
某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于(　　)
A．800～900元　　　　　　　　B．900～1200元
C．1200～1500元 D．1500～2800元
解析：選C.分別以全月工資、薪金所得為900元，1200元，1500元，2800元計(jì)算應(yīng)交納此項(xiàng)稅款額，它們分別為：5元，20元，70元，200元．
∵20<26.78<70，所以某人當(dāng)月工資、薪金所得介于1200～1500元．
3.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營．據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N＋)為二次函數(shù)的關(guān)系(如圖)，則每輛客車營運(yùn)多少年，營運(yùn)的年平均利潤最大(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選C.求得函數(shù)式為y＝－(x－6)2＋11，
則營運(yùn)的年平均利潤
yx＝－?x－6?2＋11x
＝12－(x＋25x)≤12－225＝2，
此時(shí)x＝25x，解得x＝5.
4．某公司一年購買某種貨物400 t，每次都購買x t，運(yùn)費(fèi)為每次4萬元，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________t.
解析：設(shè)一年的總費(fèi)用為y萬元，
則y＝4×400x＋4x＝1600x＋4x
≥21600x?4x＝160.
當(dāng)且僅當(dāng)1600x＝4x，即x＝20時(shí)等號成立．
答案：20
5．國家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.
解：設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．
y＝2400m(1＋2x%)?(8－x)%
＝－1225m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
依題意，得y≥2400m×8%×78%，
即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根據(jù)x的實(shí)際意義，知0＜x≤8，所以0＜x≤2為所求．
1．某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；銷售量g(t)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品日銷售金額的最大值是(　　)
A．505元　　　　　　B．506元
C．510元 D．600元
解析：選B.銷售金額ω＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350＝－(t－252)2＋6254＋350，
當(dāng)t＝12或13時(shí)，ωmax＝506.
2．將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)．每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為(　　)
A．每個(gè)95元　　　　　　　B．每個(gè)100元
C．每個(gè)105元 D．每個(gè)110元
解析：選A.設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，則所獲利潤y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，y值最大．
∴漲價(jià)5元即每個(gè)售價(jià)95元能獲得最大利潤．
3．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站(　　)
A．5千米處 B．4千米處
C．3千米處 D．2千米處
解析：選A.設(shè)倉庫到車站的距離為x千米，則y1＝k1x，y2＝k2x.
當(dāng)x＝10時(shí)，y1＝2，y2＝8，
∴k1＝20，k2＝0.8.
∴y1＋y2＝20x＋0.8x≥20.8x?20x＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)0.8x＝20x，即x＝5時(shí)，(y1＋y2)min＝8，因此應(yīng)選A.
4．如果一輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內(nèi)，它的行程就超過2200 km，如果它每天的行程比原來少12 km，那么它行同樣的路程就得花9天多時(shí)間，那么這輛汽車原來行程的千米數(shù)為(　　)
A．259＜x＜260 B．258＜x＜260
C．257＜x＜260 D．256＜x＜260
解析：選D.設(shè)原來每天行x km，
則?x＋19??8＞2200?x－12??9＜?x＋19??8，
解得256＜x＜260.
5．某債券市場常年發(fā)行三種債券，A種面值為1000元，一年到期本息和為1040元；B種面值為1000元，但買入價(jià)為960元，一年到期本息和為1000元；C種面值為1000元，半年到期本息和為1020元．設(shè)這三種債券的年收益率分別為a、b、c，則a、b、c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)＝c且a＜b B．a(chǎn)＜b＜c
C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b
解析：選C.一年到期的年收益率分別為a＝401000＝0.04，b＝40960＝0.0416，c＝(1＋2%)2－1＝0.0404，所以a6．某城市為控制用水，計(jì)劃提高水價(jià)，現(xiàn)有四種方案，其中提價(jià)最多的方案是(已知0A．先提價(jià)p%，再提價(jià)q%
B．先提價(jià)q%，再提價(jià)p%
C．分兩次都提價(jià) q2＋p22%
D．分兩次都提價(jià)p＋q2%
解析：選C.主要考查公式21a＋1b≤ab≤a＋b2≤ a2＋b22的應(yīng)用．
7．市場上常有這樣一個(gè)規(guī)律：某商品價(jià)格愈高，購買的人愈少；價(jià)格愈低，購買的人愈多．現(xiàn)有某雜志，若定價(jià)每本10元，則可以發(fā)行20萬本，若每本價(jià)格提高x元，發(fā)行量就減少12500x本．要使總收入不低于210萬元，則雜志的定價(jià)范圍是____________．
解析：由題意可列不等式(10＋x)(200000－12500x)≥2100000，即x2－6x＋8≤0.
∴2≤x≤4,12≤x＋2≤14，
∴雜志的定價(jià)范圍是[12,14]．
答案：[12,14]
8．一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以x km/h的速度勻速開往400 km處的災(zāi)區(qū)，為安全起見，每兩輛汽車的前后間距不得小于(x20)2 km，問這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要________ h.
解析：設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為t h，由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛車行駛了25×(x20)2＋400(km)所用的時(shí)間，因此，t＝25×?x20?2x＋400x≥2 25x400×400x＝10，當(dāng)且僅當(dāng)25x400＝400x，
即x＝80時(shí)取“＝”號．
答案：10
9．一服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本總數(shù)R＝500＋30x，若月獲得的利潤不少于1300(元)，則該廠的月產(chǎn)量范圍為____________．
解析：由月獲利y＝(160－2x)?x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500
由－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45.
答案：[20,45]
10．光線透過一塊玻璃，其強(qiáng)度要減弱110.要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的13以下，求至少需這樣的玻璃的塊數(shù)．(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解：1－110x≤13，x≥lg13lg910＝10.4.
∴至少需這樣的玻璃為11塊．
11．某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房，經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝購地總費(fèi)用建筑總面積)
解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為y元，則
y＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N＋)，
因?yàn)?8x＋10800x≥248×10800＝1480，
所以y≥560＋1480＝2000，
當(dāng)且僅當(dāng)48x＝10800x，
即x＝15時(shí)，y取最小值2000.
所以，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為15層．
12．(2014年洛陽高二檢測)某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f(n)表示前n年的純利潤總和(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)．
(1)該廠從第幾年開始盈利？
(2)若干年后，投資商為開發(fā)新項(xiàng)目，對該廠有兩種處理方案：
①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠；
②純利潤總和達(dá)到最大時(shí)，以16萬元出售該廠．問哪種方案更合算？
解：由題意知f(n)＝50n－[12n＋n?n－1?2×4]－72＝－2n2＋40n－72.
(1)由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18，
由n∈N知，從第三年開始盈利．
(2)方案①：年平均純利潤
f?n?n＝40－2(n＋36n)≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)等號成立．
故方案①共獲利
6×16＋48＝144(萬元)，此時(shí)n＝6.
方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.
當(dāng)n＝10，f(n)max＝128.
故方案②共獲利128＋16＝144(萬元)．
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算．


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