柱體、錐體、臺體的體積
練習一
一、
1、將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了（ ）
A、 6 a B、 12 a
C、 18 a D、 24 a
2、側面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a，則該三棱錐的全面積是（ ）
A、 a B、 a
C、 a D、 a
3、棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面積為50，則截面與底面之間的距離為( )
A、 25 B、 11
C、 10 D、 5
4、已知一個直平行六面體的底面是面積等于Q的菱形，兩個對角面面積分別是M和N，則這個平行六面體的體積是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、正四棱錐的底面面積為Q，側面積為S，則它的體積為（ ）
A、 Q B、
C、 D、
6、正棱錐的高和底面邊長都縮小原來的 ，則它的體積是原來的（ ）
A、 B、
C、 D、
7、直三棱柱ABC——A1B1C1的體積為V，已知點P、Q分別為AA1、CC1上的點，而且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是（ ）
A、 V B、 V
C、 V D、 V
二、題
8、已知正六棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，高是2，則這個棱臺的側面積是_____ 。
9、底面邊長分別為a,b的一個直平行六面體的側面積是(a+b)c，則它的高為---------------------。
10、正六棱柱的高為5cm，最長的對角線為13cm，它的全面積為-----------------。
11、三棱錐的五條棱長都是5，另一條棱長是6，則它的體積是-------------。
三、解答題
12、右圖中的圖形是一個正方體，H、F、G分別是棱AB、AD、AA1
的中點�，F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉一個角，問鋸掉的
這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？
13、直平行六面體的底面是菱形,兩個對角面面積分別為 ,求直平行六面體的側面積
14、如圖，一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內
放一個半徑為r 的鐵球，并向容器內注水，使水面恰在此時好
與鐵球相切，將球取出后，容器內的水深是多少？
15、如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC= a，且PD是四棱錐的高。
（1）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑。
（2）求四棱錐外接球的半徑。
答案：
一、
1、B；2、A；3、B；4、D；5、D；6、B；7、B
二、題
8、18
9、
10、
11、
三、解答題
12、解：設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3，鋸掉的這個角是以三角形AGF為底面、H為頂點的一個三棱錐。其體積為V= S AFG?AH= ? ? a? a? a = a3，
∴所鋸掉的這個角的體積是原正方體體積的 。
13、解：設底面邊長為a,側棱長為l,兩條面對角線的長分別為c,d,則
由(1)得 ,由(2)得 代入(3)得
∴
思維啟示：(1)此題需要大膽假設,為列方程方便,可以將對角線設出,但設而不解。(2)需大膽消元,整體代入,三個方程四個未知數(shù),不能將其一一解出,這里需要將a與l的乘積看做一個整體進行計算。
14、解：如圖，由題意，軸截面PAB為正三角形，故當球在容器內時，水深為3r，水面半徑為 r，容器內水的體積就是V=V棱錐
-V球= （ r）2?3r- r3= r3
將球取出后，設容器中水的深度為h，則水面半徑為 h，此時容器內水的體積為V/= （ h）2?h= h3
由V=V/，得h= 。即鐵球取出后水深為 。
15、證明：（1）設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，連結SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R。
VP——ABCD= ?S ABCD?PD= ?a?a?a
= a3，S PAD= S PDC= ?a?a= a2，
S PAB= S PBC= ?a? a= a2
S ABCD=a2。
VP—ABCD= VS—PDA+ VS——PDC+ VS-ABCD+ VS—PAB+ VS—PBC，
a3= R（S PAD+ S PDC+ S PAB+ S PBC+ S ABCD），
a3= R（ a2+ a2+ a2+
a2+a2），
R（2+ ）a2= a3，
∴R= = a=（1- ）a
∴球的最大半徑為（1- ）a
（2）設PB的中點為F，
∵ 在Rt PDB中，F(xiàn)P=FB=FD，
在Rt PAB中，F(xiàn)A=FP=FB，
在Rt PBC中，F(xiàn)P=FB=FC，
∴FP=FB=FA=FC=FD。
∴F為四棱錐外接球的球心。
則FP為外接球的半徑
∵FB= PB，∴FB= a。
∴四棱錐的外接球的半徑為 a。


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