第十一講 等腰三角形的性質
若按邊(角)是否相等分類，兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一類特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合(簡稱三線合一)，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60°．
解與等腰三角形相關的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運用等腰三角形的特殊性質，這些性質為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關 系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運用，又不囿于全等三角形，善于運用等腰三角形的性質探求新的解題途徑．
例題求解
【例1】 如圖AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅固，需在其內部添加一些鋼 管EF、FG、GH……添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管 根．
(山東省聊城市中考題)
思路點撥 通過角度的計算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．

注 角是幾何中最活躍的元素，與角相關的知識異常豐富，在三角形中，角又有獨特的等量關系，如三角形內角和定理、內外角關系定理．等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到 角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關系．
隨著知識的豐富，我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問題時，需要綜合與選擇．
【例2】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠BAC的度數(shù)為（ )
A．30° D．32° C 36° D．40°
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥 圖中有很多相關的角，用∠BAC的代數(shù)式表示這些角，建立關于∠BAC的方程．

【例3】 如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D為AC上一點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，問：當點D滿足什么條件時，∠ADB＝∠CDF，請說明理由．
(安徽省競賽題改編題)
思路點撥 本例是探索條件的問題，可先假定結論成 立，逐步逆推過去，找到相應的條件，若∠ADB＝∠CDF，這一結論如 何用?因∠ADB與∠CDF對應的三角形不全等，故需構造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是等腰三角形中一條常用輔助線．


【例4】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE= BD．求證：BD是∠ABC的角平分線．
(北京市競賽題)
思路點撥 AE邊上的高與∠ABC的平分線重合，聯(lián)想到等腰三角形，通過作輔助線構造全等三角形、等腰三角形．


注 若巳知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構造全等三角形，使欲證的線段或角轉移位置，最終使問題得以解決．
結論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問題的基本形式，相應的解題策略是：
(1)通過對符合條件的特例或簡單情形的分析、觀察、猜想結果，再給出證明；
(2)假設結論成立，逆推追尋相應的條件；
(3)假設在題設條件下的某一數(shù)學對象存在，進行推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定的結論．
【例5】如圖，在△ABC中，已知∠C＝60°，AC>BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC＝DC
(1)證明：△C′BD≌△B′DC；
(2)證明：△AC′D≌△DB′A；
(3)對△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB ′，從面積大小關系上，你能得出什么結論?
(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)是基礎，(2)是(1)的自然推論，(3) 由角的不等，導出邊的不等關系，這是探索面積不等關系的關鍵．
學力訓練
1．如圖，△ABC中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一個條件是 ．
(濟南市中考題)
2．等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊的長為 ．
3．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，則∠DPF= 度．


4．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF＝AC，則∠ABC的大小是 ．
(煙臺市中考題)
5．△ABC的一個內角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( )
A．140° B．80°或100° C ．100°或140° D．80°或140°
6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點F、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S = S ；④EF=AP．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的是( )
A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個
(蘇州市中考題)
7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，則∠ECF＝( )
A．60° B．45° C．30° D．不確定


8．如圖，在等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數(shù)是( )
A．45° D．55° C．60° D．75°
(菏澤市中考題)
9．在△ABC中，已知AB＝AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求厶ABC各內角的度數(shù)．
(廣州市中考題)
10．如圖，已知A、D兩點分別是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，連結GH、AD，延長AD交BC于M，延長DA交EF于N，G是FD與AB的交點，H是ED與AC的交點．
(1)請寫出三個不同類型的、必須經過至少兩步推理才能得到的正確結論（不要求寫出證明過程）；
(2)問FE、GH、BC有何位置關系?試證明你的結論．
(江西省中考題)



11．如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D為DC的中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于點F．求證：AB垂直平分DF．
(河南省中考題)

12．如圖 ，O為等邊三角形ABC內一點，BD＝DA，BE＝AB，∠DBE＝∠DBC，則∠BED的度數(shù)是 ．
(河南省競賽題)
13．如圖，AA′、BB′分別是∠EAO、∠DBC的平分線，若AA′=BB′＝AB，則∠BAC的度數(shù)為 ． (全國初中數(shù)學聯(lián) 賽題)



14．周長為100，邊長為整數(shù)的等腰三角形共有 種．
( “華杯賽”試題)
15．已知等腰三角形的兩邊a、b滿足 =0，則此等腰三角形的周長為 ．


16．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，則∠C的大小是( )
A．20° B．25° C．30° D．45°
17．如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于E、F，連結EF與AD相交于G，則∠AED與∠AGF的關系為( )
A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED<∠AGF D．不能確定
（“學習報）公開賽試題）
18．如圖，直線 、 、 表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有( )
A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處
(安徽省中考題)
19．△ABC的三邊為a、b、c，且滿足 ，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．以上答案都不對
(河南省競賽題)
20．如圖，在△ABC中，AB=AC，P底邊BC上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．
(1)求證：PD+PE=CF；
(2)若P點在BC的延長線上，那么PD、PE、CF存在什么關系?寫出你的猜想并證明．


21．如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過F作FG⊥CD交BE 延長線于G，求證：BG=AF+FG． (重慶市競賽題)


22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O為△ABC內一點，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求 ∠BAO的度數(shù)． (天津市競賽題)


23．如圖，等邊△ABC中，AB=2，點P是AB邊上的任意一點(點P可以與點A重合，但不與點B重合)，過點P作PE⊥BC于E，過點E作EF⊥AC于F，過點F作FQ⊥AB于Q，設BP= x，AQ＝y(tǒng)．
(1)用x的代數(shù)式表示y；
(2)當PB的長等于多少時，點P與點Q重合?
(福州市中考題)
24．如圖，△ABC是邊長為l的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120 °的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結MN，形成一個三角形，求證：△AMN的周長等于2．

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