2.　平方根（一）

一、學生起點分析
學生已具備了對無理數(shù)的認識，知道只有有理數(shù)是不夠的．學生還具備了乘方運算的基礎(chǔ)，并且有計算正方形等幾何圖形面積的技能．在前面的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具備了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力．這節(jié)課的教學，力求從學生實際出發(fā)，以他們熟悉的問題情景引入學習主題，在關(guān)注現(xiàn)實生活的同時，更加關(guān)注數(shù)學知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性．

二、教學任務(wù)分析
本節(jié)課是義務(wù)教育課程標準實驗教科書北師大版八年級（上）第二章《實數(shù)》的第二節(jié)《平方根》．本節(jié)內(nèi)容計2個課時，本節(jié)課是第1課時，主要是算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的教學．課程標準要求，對于數(shù)學概念的教學，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，因此確定本節(jié)的教學目標如下：
?知識與技能目標
1．了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根．
2．了解求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關(guān)系求非負數(shù)的算術(shù)平方根．
3．了解算術(shù)平方根的性質(zhì)．
?過程與方法目標
1．在概念形成過程中，讓學生體會知識的來源與發(fā)展，提高學生的思維能力．
2．在合作交流等活動中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識．
?情 感與態(tài)度目標
1．讓學生積極參與教學活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學的好奇心和求知欲．
教學重點：
了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根．
教學難點：
對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的理解．

三、教法學法
教學方法：講授法．
課前準備：
教具：教材，多媒體，電腦．
學具：教材，筆，練習本．


四、教學過程：
本課時設(shè)計六個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：問題情境；第二環(huán)節(jié)：初步探究；第三環(huán)節(jié)：深入探究；第四環(huán)節(jié)：反饋練習；第五環(huán)節(jié)：學習小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置．
本節(jié)課教學流程為：




第一環(huán)節(jié)：問題情境
方法一：問題導入
內(nèi)容：上節(jié)課學習了無理數(shù)，了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性，掌握了無理數(shù)的概念，知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．比如上一節(jié)課我們做過的：由兩個邊長為1的小正方形，通過剪一剪，拼一拼，得到一個邊長為a的大的正方形，那么有a2=2，a= ，2是有理數(shù)，而a 是無理數(shù)．在前面我們學過若x2=a，則a叫x的平方，反過來x叫a的什么呢？本節(jié)課我們一起來學習．

方法二：問題導入
內(nèi)容：前面我們學習了勾股定理，請大家根據(jù)勾股定理，結(jié)合圖形完成：
x2= ，y2= ，z2= ，w2= ．
意圖：方法一和二都是帶著問題進入到這節(jié)課的學習，讓學生體會到學習算術(shù)平方根的必要性．
效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．
說明：方法一的引入是由上節(jié)課“數(shù)怎么又不夠用了”的例子，起到了承前啟后的作 用，方法二的引入是由學生學習了第一章“勾股定理”后的應(yīng)用，說明學習這節(jié)課的必要性．相對而言，建議選用方法二。
第二環(huán)節(jié)：初步探究
內(nèi)容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知冪和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來嗎？
意圖：讓學生體驗概念形成過程，感受到概念引入的必要性．
效果：學生可以估算出x，y是1到2之間的數(shù)，w是2到3之間的數(shù)但無法表示x、y、w，從而激發(fā)學生繼續(xù)往下學習的興趣，進而引入新的運算——開方．
說明：無論是用方法一引入，還是方法二引入，都是激發(fā)學生繼續(xù)往下學習的興趣，都可以提出同樣的問題“已知冪和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來嗎？”

內(nèi)容2：在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念：
一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為“ ”，讀作“根號a”．特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即 ．
意圖：對算術(shù)平方根概念的認識．
效果：了解算術(shù)平方根的概念，知道平方運算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的．
內(nèi)容3：簡單運用 鞏固概念
例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
（1）900； （2）1； （3） ； （4）14．
意圖：體驗求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的過程，利用平方運算求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的方法，讓學生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開出來，有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號表示，如14的算 術(shù)平方根是 ．
效果：會求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，更進一步了解算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，負數(shù)沒有算術(shù)平方根．
答案：解：（1）因為302=900，所以900的算術(shù)平方根是30，即 ；
（2）因為12=1，所以1的算術(shù)平方根是1，即 ；
（3）因為 ，所以 的算術(shù)平方根是 ， 即 ；
（4）14的算術(shù)平方根是 ．

內(nèi)容4：回解課堂引入問題
x2=2，y2=3，w2=5，那么x= ，y= ，w= ．

第三環(huán)節(jié)：深入探究
內(nèi)容1：例2 自由下落物體的高度h（米）與下落時間t（秒）的關(guān)系為h=4.9t2．有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落 ，到達地面需要多長時間？
意圖：用算術(shù)平方根的知識解決實際問題．
效果：學生多能利用等式的性質(zhì)將h=4.9t2進行變形，再用求算術(shù)平方根的方法求 得題目的解．
解：將h=19.6代入公式得h=4.9 t2， t2 =4，所以t = =2(秒) ．
即鐵球到達地面需要2秒．
說明：此題是為得出下面的結(jié)論作鋪墊的．

內(nèi)容2：觀察我們剛才求出的算術(shù)平方根有什么特點．
意圖：讓學生認識到算術(shù)平方根 定義中的兩層含義： 中的a是一個非負數(shù)，a的算術(shù)平方根 也是一個非負數(shù)，負數(shù)沒有算術(shù)平方根．這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)——雙重非負性．
效果：再一次深入地認識算術(shù)平方根的概念，明確只有非負數(shù)才有算術(shù)平方根．

第四環(huán)節(jié)：反饋練習
一、題：
1．若一個數(shù)的算術(shù)平方根是 ，那么這個數(shù)是 ；
2． 的算術(shù)平方根是 ；
3． 的算術(shù)平方根是 ；
4．若 ，則 = ．
二、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
36， ，15，0.64， ， ， ．
三、如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷．若繩子的長度為5.5米，地面固定點C 到帳篷支撐竿底部B的距離是4.5米，則帳篷支撐竿的高是多少米？
答案：一、1.7；2. ；3. ；4．16；二、6； ； ；0.8； ； ；1；
三、解：由題意得 AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得 （米）．所以帳篷支撐竿的高是 米．
意圖：旨在檢測學生對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的掌握情況，以便根據(jù)學生情況調(diào)整教學進程.
效果：練習注意了問題的梯度性，由淺入深，一步步加深對算術(shù)平方根的概念以及性質(zhì)的認識.對學生的回答，教師要給予評價和點評。

第五環(huán)節(jié)：學習小結(jié)
內(nèi)容：這節(jié)課學習的算術(shù)平方根是本章的基本概念，是為以后的學習做鋪墊的．通過這節(jié)課的學習，我們要掌握以下的內(nèi)容：
（1）算術(shù)平方根的概念，式子 中的雙重非負性：一是a≥0，二是 ≥0．
（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根．
（3）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的運算與平方運算是互逆的運算，利用這個互逆運算關(guān)系求非負數(shù)的算術(shù)平方根．
意圖：依照本節(jié)課的教學目標引導學生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點，強化算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)．

第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置
習題2.3

五、教學設(shè)計說明
1．設(shè)計理念
要想讓 學生正確、牢固地樹立起算術(shù)平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化的過程．概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的．概念的形成過程也 是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很有必要的．概念教學過程中要做到：講清概念，加強訓練，逐步深化．
“講清概念”就是通過具體實例揭露算術(shù)平方根的本質(zhì)特征．算術(shù)平方根的本質(zhì)特征就是 定義中指出的：“如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，”的 “正數(shù)x”，即被開方數(shù)是正的，由平方的意義，a也是正數(shù)，因此算術(shù)平方根也必須是正的．當然零的算術(shù)平方根是零.
“加強訓練”不但指要加強求算術(shù)平方根的基本訓練,使練習題達到一定的質(zhì)和量,也包括書寫格式的訓練，如在求正數(shù)的算術(shù)平方根時，不是直接寫出算術(shù)平方根，而是通過平方運算來求算術(shù)平方根 ，非平方數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號來表示.
“逐步深化”是指利用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的題目按不同的“梯度”組成題組，在教學的不同階段按由淺入深的原則加以使用.
2．知識拓展
在教學中，根據(jù)學生的實際情況，在學有余力的情況下，可用以下的例題和練習題進行知識的拓展：
內(nèi)容：例 已知 ，求 的值．
解：因為 和 都是非負數(shù)，并且 ，所以 ， ，解得x=2，y= -4，所以 ．
意圖：加深對算術(shù)平方根概念中兩層含義的認識，會用算術(shù)平方根的概念來解決有關(guān)的問題．
效果：達到能靈活運用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的目的．
課后還可以布置相應(yīng)的拓展性習題：
內(nèi)容：1．已知 ，求x+y+z的值．
2．若x，y滿足 ，求xy的值．
3．求 中的x．
4．若 的小數(shù)部分為a， 的小數(shù)部分為b，求a+b的值．
5．△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足 ，求c的取值范圍．
解：1．因為 ≥0， ≥0， ≥0，且 ，
所以 =0， =0， =0，解得 ， ， ，所以x+y+z= ．
2．因為2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= ，當 x= 時，y=5，所以 xy= ×5= ．
3．解：因為x-5≥0， ≥0 ，所以 x=5 ．
4．解：因為 ，所以 的整數(shù)部分為8， 的整數(shù)部分 為1，所以 的小數(shù)部分 ， 的小數(shù)部分 ，所以 ．
5．解：由 ，可得 ，因為 ≥0， ≥0，

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