第二十八講 奇妙的對稱
對稱是一種客觀存在，一朵紅花、一片綠葉、一只色彩魔斕的蝴蝶等，最令人驚奇的就是它們外形的幾何對稱性，自然界的對稱性可以在從亞原子粒子的結構到整個宇宙的結構的每一個尺度上找到．
對稱是一種美的標準，人類心智中的某種東西受對稱的吸引，對稱對我們的視覺有感染力，影響我們對美的感受，建筑、繪畫廣泛地應用對稱．
對稱是一個數(shù)學概念，我們熟悉的有代數(shù)中的對稱式、幾何中的軸對稱、中心對稱等，更一般情況是，許多數(shù)學問題所涉及的對象具有對稱性，不僅包括幾何圖形 中的對稱，而且泛指某些對象在有些方面如圖形、關系、地位等同彼此相對又相稱．
對稱是一種解題方法，即解題時充分利用問題自身條件的某些對稱性分析問題，在探求幾何最值、代數(shù)式的化簡求值等方面有廣泛的應用．
例題求解
【例1】 如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°， O為△AB C中一點，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長是 ．
( “希望杯”邀請賽試題)

思路點撥 △OAB是一般三角形，作∠ACB的平分線，與BO延長線交于D，連AD，OC，通過全等尋找與AO相等的線段，促使問題的解決．
注 物理學家皮埃爾?居里曾說，“結果與其原因一樣對稱．”
大干世界，許多事物都具有某種對稱性．許多化學分子是對稱的，細胞結構是對稱的，病毒往往也是對稱的，……對稱給人們以和諧均衡的羌感，完全的對稱是重復性的可預言的，
人類在漫長的歲月里，體驗著對稱，享受著對稱．
求幾何量的最值問題常用方法有：
(1)應用幾何中的不等式性質(zhì)，定理；
(2)對稱分析；
(3)代數(shù)法．即著眼于揭示問題中變動元素的代數(shù)關系．
【例2】 如圖，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為( )
A．2 B． C． D． (“新蕾杯”數(shù)學競賽題)


思路點撥 C、E兩點位置固定，從對稱性考慮，確定P點位置．
【例3】現(xiàn)有一塊形如母子正方形的板材，木工師傅想先把它割成幾塊，然后適當拼接，制成某種特殊形狀的板面(要求板材不能有剩余，拼接時不重疊、無空隙)，請你按下列要求幫助木工師傅分別設計一種方案：
(1)板面形狀為非正方形的中心對稱圖形 ；
(2)板面形狀為等腰梯形；
(3)板面形狀為正方形．
思路點撥 問題(1)，由“中心對稱的四邊形是平行四邊形”想象出中心對稱的多邊形的大致形狀；問題(2)，先計算等腰梯形面積為5，猜想等腰梯形的高，可能為2，因此，上、下底的和應為5；問題(3)，由正方形的面積為5，計算出它的邊長應為 ．
【例4】 已知 ，試確定 、 的關系．
(江蘇省競賽題)
思路點撥 有理化是解根式問題的基本思路，乘方、配方、換元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道膾炙人口的名題，引入與已知等式地位相對相稱的有理化因式，本例可獲得簡解．
注 數(shù)學中的對稱，不僅指幾何圖形中的對稱，代數(shù)表示式中，若各個宇母互相替代，表示式不變，也稱這個表示式關于這些字母是對稱的，一個復雜的二元對稱式．都可以用最簡單對稱式 ， 表示．
許多數(shù)學問題有著和諧的對稱美．對原題匹配一個與之相對的數(shù)學式，然后一起參與運算，這就是常說的“對稱性地處理具有對稱性的問題”，是數(shù)學解題中的一個一般性原則．
用對稱法解幾何題的常見的方式有：
(1)作出常見軸對稱圖形的對稱軸，或利用題設條件中的垂線、角平分線翻折造全等；
(2)利用中點構造中心對稱圖形．
【例5】 如圖，凸四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比較BC+AD與AB+CD的大小． (“祖沖之杯”邀請賽試題)


思路點撥 以AC為對稱軸，將部分圖形翻折，把相關線段集中到同一個三角形中去，以便 運用三角形三邊關系定理，這是解本例的關鍵．
【例6】如圖，在△ABC中，AD是BC邊的 中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求證：AD2= ．
(北京市競賽題)
思路點撥 易想到勾股定理，需要把分散的條件加以集中，利用中點，構造中心對稱全等三角形．
學力訓練
1．下面四個圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同?請指出這個圖形，并簡述你的理由．
答：圖形 ；理由是： ． (吉林省中考題)


2．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD＝4，P在直線MN上運動，則 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
3．如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2?，如果以AC的中點O為旋轉中心，將這個三角形旋轉180°，點B落在點B′處，那么B′點與B點的原來位置相距 cm．


4．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于O點)，則△PQR的周長的最小值為 ． (黃岡市中考題)
5．設將一張正方形紙片沿右圖中虛線剪 開后，能拼成下列四個圖形，則其中是中心對稱圖形的是( ) (2003平龍巖市中考題)

6．如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A、B處距河岸的距離AC、BD的長分別為500m和700m，且C、D兩地的距離為500m，天黑前牧童從A點將馬牽引到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童至少要走( )
A．100 m B．1200m C ．1300m D．1700m

7．如圖，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P點在BD上，則PE+PC的最小值為( )
A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 2 a
8．如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側的村莊．
(1)設汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的公路AB上分別畫出點P、Q的位置(保留畫圖痕跡)．
(2)當汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠?(分別用文字表 述你的結論，不必證明 )
(3)在公路AB上是否存在這樣一點H，使汽車行駛到該點時，與村莊M、N的距離相等?如果存在，請在圖中的AB上畫出這一點(保留畫圖痕跡，不必證明)：如果不存在，請簡要說明理由． (2001年浙江省嘉興市中考題)
9．(1)用四塊如圖I所示的黑白兩色正方形瓷磚拼成 一個新的正方形，使之形成軸對稱圖案，請至少給出三種不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)請你任意改變圖I瓷磚中黑色部分的圖案，然后再用四塊改變圖案后的正方形瓷磚拼出一個中心對稱圖案(在④中操作)． (仙桃、潛江、天門、江漢油田中考題)



10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F，求證：FD2=FB×FC．
11．如圖，設Ll和L2，是鏡面平行且鏡面相對的兩面鏡子，把一個小球放在之間，小球放在鏡Ll中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A″，若Ll、L2的距離為7，則AA″ ．
(江蘇省競賽題)


12．如圖，設M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，則△ABC的面積為 ．
13．如圖，ABCD—A'B'C'D'為長方體，AA'=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3× 4個小正方形，其邊長均為l0cm，得到點E、F、G、H和E'，、F'，、G'，、H'，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面E點沿表面爬行至上底面G'，點至少要花時間
秒．
14．無理數(shù) 的整數(shù)部分是 ． ( “希望杯”邀請賽試題)
15．當 等于 ， ，…， ，1，2，…，1992 ，1993時，計算代數(shù)式 的值，再將所得的結果全部加起來，總和等于 ．
16．一束光線經(jīng)3塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應的度數(shù)，已知c=60°，求d+e與x的值．
17．如圖，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一點，求證：AC+BP＜AB+PC．


18．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值．
19．如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求證：以△ABC三條中線為邊構成的三角形與△ABC相似． (2004年武漢市選拔賽試題)

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