人們習(xí)慣的思維方式是正向思維，即從條件手，進(jìn)行正面的推導(dǎo)和論證，使問題得到解決．但有些數(shù)學(xué)問題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直難則曲”是突破思維障礙的重要 策略．
數(shù)學(xué)中存在著大量的正難則反的切入點．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公式、法則和等價關(guān)系都是雙向的，具有可逆性；對數(shù)學(xué)方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹，其思考方向也是可逆的；作為解題策略，當(dāng)正向思考困難時可逆向思考，直接證明受阻時可間接證明，探索可能性失敗時轉(zhuǎn)向考察不可能性．由正難則反切入的具體途徑有：
1．定義、公式、法則的逆用；
2．常量與變量的換位；
3．反客為主；
4．反證法等．
【例題求解】
【例1】 已知 滿足 ，那么 的值為 ．
(河南省競賽題)
思路點撥 視 為整 體，避免解高次方程求 的值．


【例2】 已知實數(shù) 、 、 滿足 ，且 求 的值．
(第四屆《學(xué)習(xí)報》公開賽試題)
思路點撥 顯然求 、 、 的值或?qū)で?、 、 的關(guān)系是困難的，令 ，則2002= ，原等式就可變形為關(guān)于 的一元二次 方程，運用根與系數(shù)關(guān)系求解．


注：（1）人們 總習(xí)慣于用凝固的眼光看待常量與變量，認(rèn)為它們涇渭分明，更換不得，實際上將常量設(shè)為變量，或?qū)⒆兞繒簳r看作常 量，都會給人以有益的啟示．
（2） 人的思維活動既有“求同”和“定勢”的方面，又有“求異”和“變通”的方面．求同與求異，定勢與變通是人的思維個性的兩極，充分利用知識和方法的雙向性，是培養(yǎng)思維能力的重要途徑．
正難則反在具體的解題中，還表現(xiàn)為下列各種形式：
(1)不通分母通分子；
(2)不求局部求整體；
(3)不先開方先平方；
(4)不用直接挖隱含；
(5)不算相等算不等；
(6)不求動態(tài)求靜態(tài)等．
【例3】 設(shè) 、 、 為非零實數(shù)，且 ， ， ，試問： 、 、 滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根．
思路點撥 如從正面考慮，條件“三個方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根”所涉及的情況比較復(fù)雜，但從其反面考慮情況卻十分簡單，只有一種可能，即三個方程都沒 有實數(shù)根，然后從全體實數(shù)中排除三個方程都無實數(shù)根的 、 、 的取值即可．

注：受思維定勢的消極影響，人 們在解決有幾個變量的問題時，總抓住主元不放，使有些問題的解決較為復(fù)雜，此時若變換主元，反客為主，問題常常能獲得簡解．
【例4】 已知一平面內(nèi)的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上，試問：是否一定能從這樣的四點中選出三點構(gòu)成一個三角形，使得這個三角形至少有一內(nèi)角不大于45°?請證明你的結(jié)論． (江蘇省競賽題)
思路點撥 結(jié)論是以疑問形式出現(xiàn)的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說明結(jié)論是否定的；若推不 出矛盾，則可考慮去證明結(jié)論是肯定的．

【例5】 能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由．
(北京市競賽題)
思路點撥 先假設(shè)存在正整數(shù) ， ， ， 滿足 ( ， =1，2，3，4，m為正整數(shù))．運用完全平方數(shù)性質(zhì)、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原假設(shè)不成立．


注：反證法是從待證命題的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，通過導(dǎo)出矛盾來判斷待證命題成立的方法，其證明的基本步驟是：否定待證命題的結(jié)論、推理導(dǎo)出矛盾、肯定原命題的結(jié)論．
宜用反證法的三題特征是：
(1)結(jié)論涉及無限；
(2)結(jié)論涉及唯一性；
(3)結(jié)論為否定形式；
(4)結(jié)論涉及“至多，至少”；
(5)結(jié)論以疑問形式出現(xiàn)等．
學(xué)力訓(xùn)練
1．由小到大排列各分?jǐn)?shù)： ， ， ， ， ， 是 ．
2．分解因式 = ．
3．解關(guān)于 的方程： ( ≥ )得 = ．
4． 的結(jié)果是 ．
5．若關(guān)于 的三個方程， ， ， 中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 ．
6．有 甲、乙兩堆小球，如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二 次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，如此挪動4次后，甲、乙兩堆小球恰好都是16個，那么，甲、乙兩堆最初各有 多少個小球?
(重慶市競賽題)
7．求這樣的正整數(shù) ，使得方程 至少有一個整數(shù)解．
(上海市競賽題)
8．某班參加運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1～19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的3名運動員，他們運動服號碼之和不小于32，請說明理由．
9．如正整數(shù) 和 之和是 ，則 可變?yōu)?，問能不能用這種方法數(shù)次，將22 變成2001？
(世界城際間數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
10．證明：如果整系數(shù)二次方程 a ( )有有理根，那么 ， ， 中至少有一個是偶數(shù)．


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