黃石市2013年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試
數(shù) 學(xué) 試 題 卷
姓名： 準(zhǔn)考證號(hào)：
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分為試題卷和答題卷兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分120分。
2.考生在答題前請(qǐng)答題卷中的“注意事項(xiàng)”，然后按要求答題。
3.所有答案均須做在答題卷相應(yīng)區(qū)域，做在其它區(qū)域內(nèi)無效。
一、仔細(xì)選一選（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
下面每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的字母在答題卷中相應(yīng)的格子涂黑，注意可用多種不同的方法來選取正確答案。
1. 的倒數(shù)是
A. B. 7 C. D. －7
答案：A
解析：數(shù) 的倒數(shù)為 ，因此，－7的倒數(shù)為
2．一年之中地球與太陽之間的距離隨時(shí)間而變化，1個(gè)天文單位是地球與太陽之間平均距離，即 億千米，用科學(xué)記數(shù)法表示1個(gè)天文單位應(yīng)是
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
答案：C
解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
億千米＝1.49600000千米＝ 千米
3．分式方程 的解為
A. B. C. D.
答案：D
解析：去分母，得：3（x－1）＝2x，即3x－3＝2x，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的根。
4．如圖，下列四個(gè)幾何體中，它們各自的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）有兩個(gè)相同，而另一個(gè)不相同的幾何體是
A．①② B． ②③ C． ②④ D． ③④
答案：B
解析：①的三視圖都是正方形，④的三視圖都是圓，三個(gè)完全相同；②的主視圖和側(cè)視圖是矩形，俯視圖是圓，③的主視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓和圓心，故選B。
5．已知直角三角形 的一條直角邊 ，另一條直角邊 ，則以 為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的表面積是
A. B. C. D.
答案：A
解析：得到的是底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為13cm的圓錐，
底面積為：25 ，側(cè)面積為： ，所以，表面積為
6．為了幫助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同學(xué)積極捐款，他們捐款數(shù)額如下表：
關(guān)于這15名同學(xué)所捐款的數(shù)額，下列說法正確的是
A.眾數(shù)是100 B.平均數(shù)是30 C.極差是20 D.中位數(shù)是20
答案：D
解析：由表知捐款20元的有5個(gè)，因此眾數(shù)應(yīng)是20，故A錯(cuò)；平均數(shù)為： （10＋40＋100＋150＋100）＝ ，因此B錯(cuò)；極差是100－5＝95，C也錯(cuò)；第8個(gè)數(shù)據(jù)為中位數(shù)，由表知中位數(shù)為20，故選D。
7．四川雅安地震期間，為了緊急安置60名地震災(zāi)民，需要搭建可容納6人或4人的帳篷，若所搭建的帳篷恰好（即不多不少）能容納這60名災(zāi)民，則不同的搭建方案有
A.4種 B.11種 C.6種 D.9種
答案：C
解析：設(shè)建可容納6的帳篷x個(gè)，建容納4人的帳篷y個(gè)，則6x＋4y＝60（x，y均是非負(fù)整數(shù)）
　（1）x=0時(shí)，y＝15；（2）x＝2時(shí)，y＝12；（3）x＝4時(shí)，y＝9；
（4）x＝6時(shí)，y＝6；（5）x＝8時(shí)，y＝3；（6）x＝10時(shí)，y＝0
　所以，有6種方案。
8．如右圖，在 中， ， ， ，以點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓與 交于點(diǎn) ，則 的長(zhǎng)為
A. B. C. D.
答案：C
解析：由勾股定理得AB＝5，則sinA＝ ，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝ ，即 ，所以，CE＝ ，AE＝ ，所以，AD＝
9．把一副三角板如圖甲放置，其中 ， ， ，斜邊 ， ，把三角板 繞著點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到△ （如圖乙），此時(shí) 與 交于點(diǎn) ，則線段 的長(zhǎng)度為
A. B.
C. 4 D.
答案：B
解析：如圖所示，∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，
∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°。
∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°，
∵∠CD1E1=30°，∴∠4=90°，
又∵AC=BC，AB=6，∴OA=OB=3，
∵∠ACB=90°，∴ ，
又∵CD1=7，∴OD1=CD1-OC=7-3=4，
在Rt△AD1O中， 。
10.如右圖，已知某容器是由上下兩個(gè)相同的圓錐和中間一個(gè)與圓錐同底等高的圓柱組合而成，若往此容器中注水，設(shè)注入水的體積為 ，高度為 ，則 關(guān)于 的函數(shù)圖像大致是
答案：A
解析：注入水的體積增加的速度隨著高度x的變化情況是：由慢到快 勻速增長(zhǎng) 由快到慢，由慢到快的圖象是越來越陡，由快到慢的圖象是越來越平緩，所以選A。
二、認(rèn)真填一填（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11.分解因式： ＝ .
答案：
解析：原式＝ ＝
12.若關(guān)于 的函數(shù) 與 軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的值為 .
答案： 或
解析：函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)可能：（1）當(dāng)k＝0時(shí)，是一次函數(shù)，符合；（2）當(dāng)k≠0時(shí)，△＝4＋4k＝0，解得k＝－1，所以，k＝0或k＝－1。
13.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，游戲規(guī)則如下：有四個(gè)數(shù)字0、1、2、3，先由甲心中任選一個(gè)數(shù)字，記為 ，再由乙猜甲剛才所選的數(shù)字，記為 。若 、 滿足 ，則稱甲、乙兩人“心有靈犀”。則甲、乙兩人“心有靈犀”的概率是 .
答案：
解析：記甲乙選的數(shù)字為（m，n），則有16種可能，符合｜m－n｜≤1的有：（0,0），（1,1），（2,2），（3,3），（0,1），（1,2），（2,3），（1,0），（2,1），（3,2），共10種，所以，所求概率為：
14.如右圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形 中，圓 與圓 外切，且圓 分別與 、 邊相切，圓 分別與 、 邊相切，則圓心距 為 .
答案：
解析：過O1，O2分別作O1M⊥CD, O2N⊥BC，垂足為M,N
設(shè)圓O1半徑為R,圓O2半徑為r,
則DO1= R，BO2= r,
又BD=3 ，所以 R＋ r+r+R=3
解得R＋r=6-3 ，即 =6-3
15. 如右圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) 的圖像與反比例函數(shù) 的圖像交于二、四象限的 、 兩點(diǎn)，與 軸交于 點(diǎn)。已知 ， ， ，則此一次函數(shù)的解析式為 .
答案：
解析：由 ，得： ，所以，n＝5，將B點(diǎn)坐標(biāo)（5，－2）代入反比例函數(shù)，得k＝－10，將A點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得：m＝5，
所以，有： ，解得k＝－1，b＝3，所以所求解析式為：
16.在計(jì)數(shù)制中，通常我們使用的是“十進(jìn)位制”，即“逢十進(jìn)一”。而計(jì)數(shù)制方法很多，如60進(jìn)位制：60秒化為1分，60分化為1小時(shí)；24進(jìn)位制：24小時(shí)化為1天；7進(jìn)位制：7天化為1周等…而二進(jìn)位制是計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的依據(jù)。已知二進(jìn)位制與十進(jìn)位制的比較如下表：
十進(jìn)位制0123456…
二進(jìn)制011011100101110…
請(qǐng)將二進(jìn)制數(shù)10101010（二）寫成十進(jìn)制數(shù)為 .
答案：
解析：10101010（二）＝1×27＋1×25＋1×23＋1×2＝170
三、全面答一答（本題有9個(gè)小題，共72分）
解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟，如果覺得有的題目有點(diǎn)困難，那么把自己能寫出的解答盡量寫出來。
17.（本小題滿分7分）計(jì)算：
解析：原式 （5分）
（2分）
18.（本小題滿分7分）先化簡(jiǎn)，后計(jì)算： ，其中 ， .
解析：原式 （2分）
（2分）
當(dāng) ， 時(shí)，原式的值為 。 （ 3分）
∴ （4分）
19.（本小題滿分7分）如圖， 是圓 的直徑， 和 是圓 的兩條切線， 是圓 上一點(diǎn)， 是 上一點(diǎn)，連接 并延長(zhǎng)交 于 ，且 ， .
（1）求證： 是圓 的切線；
（2）求證： .
解析：
（1）證明：連接 ， 是⊙ 的切線， 是⊙ 的半徑
∴ °
∵ ∥
∴ ，
∵ ∴
在△ 和△ 中
∴
∴ °
∴ 與⊙ 相切（3分）
（2）∵ 和 是⊙ 的兩切線
∴ ，
∴ ∥
∵ 是 的中點(diǎn)， ∥
∴ ∥ 且
∵ 切⊙ 于點(diǎn)
∴ ，
20.（本小題滿分8分）解方程：
解析：
解：依題意 （2分）
由①得 ③
由②得 ④
將④代入③化簡(jiǎn)得 （4分）
即 代入②得
∴原方程組的解為 （4分）
21.（本小題滿分8分）青少年“心理健康”問題越來越引起社會(huì)的關(guān)注，某中學(xué)為了了解學(xué)校600名學(xué)生的心理健康狀況，舉行了一次“心理健康”知識(shí)測(cè)試，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本，繪制了下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖.
分 組頻數(shù)頻率
50.5～60.540.08
60.5～70.5140.28
70.5～80.516
80.5～90. 5
90.5～100.5100.20
合 計(jì)1.00
請(qǐng)解答下列問題：
（1）填寫頻率分布表中的空格，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）若成績(jī)?cè)?0分以上（不含70分）為心理健康狀況良好，同時(shí)，若心理健康狀況良好的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的70％以上，就表示該校學(xué)生的心理健康狀況正常，否則就需要加強(qiáng)心理輔導(dǎo)。請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析該校學(xué)生是否需要加強(qiáng)心理輔導(dǎo)，并說明理由.
解析：
21．（8分）解：（1）
分 組頻數(shù)頻率
50.5～60.540.08
60.5～70.5140.28
70.5～80.5160.32
80.5～90.560.12
90.5～100.5100.20
合 計(jì)501.00
（6分）
（2） 說明該校的學(xué)生心理健康狀況不正常，需要加強(qiáng)心理輔導(dǎo)（2分）
22.（本小題滿分8分）高考英語測(cè)試期間，需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音。如圖，點(diǎn) 是某市一高考考點(diǎn)，在位于 考點(diǎn)南偏西15°方向距離125米的 點(diǎn)處有一消防隊(duì)。在考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，告知在位于 點(diǎn)北偏東75°方向的 點(diǎn)處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須立即趕往救火。已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為100米，若消防車的警報(bào)聲對(duì)聽力測(cè)試造成影響，則消防車必須改道行駛。試問：
消防車是否需要改道行駛？說明理由.（ 取1.732）
解析：
解：過點(diǎn) 作 交 于 點(diǎn)，由圖可知
∵ （3分）
∴ （3分）
∵ 米
∴不需要改道行駛（２分）
23.（本小題滿分8分）一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為 千米，出租車離甲地的距離為 千米，兩車行駛的時(shí)間為 小時(shí)， 、 關(guān)于 的函數(shù)圖像如右圖所示：
（1）根據(jù)圖像，直接寫出 、 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若兩車之間的距離為 千米，請(qǐng)寫出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；
（3）甲、乙兩地間有 、 兩個(gè)加油站，相距200千米，若客車進(jìn)入 加油站時(shí)，出租車恰好進(jìn)入 加油站，求 加油站離甲地的距離.
解析：
解：（1） （ ≤ ）
（ ≤ ）（2分）
（2）∴
（3）由題意得：
①當(dāng) 時(shí)， ∴
∴ （ ）
②當(dāng) 時(shí)， ∴
∴ （ ）
③當(dāng) 時(shí)， （舍）（3分）
24.（本小題滿分9分）如圖1，點(diǎn) 將線段 分成兩部分，如果 ，那么稱點(diǎn) 為線段 的黃金分割點(diǎn)。某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為 的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 、 ，如果 ，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.
（1）如圖2，在△ 中， °， ， 的平分線交 于點(diǎn) ，請(qǐng)問點(diǎn) 是否是 邊上的黃金分割點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；
（2）若△ 在（1）的條件下，如圖（3），請(qǐng)問直線 是不是△ 的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖4，在直角梯形 中， ，對(duì)角線 、 交于點(diǎn) ，延長(zhǎng) 、 交于點(diǎn) ，連接 交梯形上、下底于 、 兩點(diǎn)，請(qǐng)問直線 是不是直角梯形 的黃金分割線，并證明你的結(jié)論.
解析：
解：（1）點(diǎn) 是 邊上的黃金分割點(diǎn)，理由如下：
∵ °，
∴ °
∵ 平分
又∵
∴
∴ 是 邊上的黃金分割點(diǎn)（3分）
（2）直線 是△ 的黃金分割線，理由如下：
設(shè) 的邊 上的高為 ，則
， ，
∴ ，
∵ 是 的黃金分割點(diǎn)
∴
∴
∴ 是△ 的黃金分割線（3分）
（3） 不是直角梯形 的黃金分割線
∵ ∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形 與梯形 上下底分別相等，高也相等
∴ 梯形 梯形 梯形
∴ 不是直角梯形 的黃金分割線（3分）
25.（本小題滿分10分）如圖1所示，已知直線 與 軸、 軸分別交于 、 兩點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過 、 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 取最大值 .
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn) 是直線 上一點(diǎn)，且 ABP ： BPC ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）若直線 與（1）中所求的拋物線交于 、 兩點(diǎn)，問:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②猜想當(dāng) 時(shí)， 的取值范圍（不寫過程，直接寫結(jié)論）.
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若 ， ，則 ， 兩點(diǎn)間的距離為 ）
解析：
解：（1）由題意得 解得
∴拋物線的解析式為 ∴ ，
∴直線 的解析式為 （2分）
（2）分兩種情況：
①點(diǎn) 在線段 上時(shí)，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②點(diǎn) 在線段 的延長(zhǎng)線上時(shí)，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
綜上所述， 或 （4分）
（3）①方法1：假設(shè)存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點(diǎn)（ 在 的左側(cè)），使得
由 得
∴ ，
又 ，
∴
∴
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 （3分）
方法2：假設(shè)存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點(diǎn)（ 在 軸上側(cè)），使得 ，如圖，過 作 于 ，過 作 于
可證明
∴ 即
∴ 即
以下過程同上
②當(dāng) 時(shí)， （1分）


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