浙江省衢州市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.請選出各題中一個符合題意的選項，不選、多選、錯選均不給分.）
1．（3分）（2013?衢州）比1小2的數(shù)是（　　）
　A．3B．1C．?1D．?2
考點：有理數(shù)的減法．
分析：根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進(jìn)行計算即可得解．
解答：解：1?2=?1．
故選C．
點評：本題考查了有理數(shù)的減法，是基礎(chǔ)題．
　
2．（3分）（2013?衢州）下列計算正確的是（　　）
　A．3a+2b=5abB．a(chǎn)?a4=a4C．a(chǎn)6÷a2=a3D．（?a3b）2=a6b2
考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；冪的乘方與積的乘方．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；合并同類項，只把系數(shù)相加減，字母與字母的次數(shù)不變，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、3a+2b=5ab無法合并，故本選項錯誤；
B、a?a4=a4，無法合并，故本選項錯誤；
C、a6÷a2=a4，故本選項錯誤；
D、（?a3b）2=a6b2 ，故本選項正確．
故選：D．
點評：本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
　
3．（3分）（2013?衢州）衢州新聞網(wǎng)2月16日訊，2013年春節(jié)“黃金周”全市接待游客總數(shù)為833100人次．將數(shù)833100用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　　）
　A．0.833×106B．83.31×105C．8.331×105D．[
考點：科學(xué)記數(shù)法?表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：833100=8.331×105，
故選：C．
點評：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（3分）（2013?衢州）下面簡單幾何體的左視圖是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：找到簡單幾何體從左面看所得到的圖形即可．
解答：解：從左面看可得到左右兩列正方形個數(shù)分別為：2，1．
故選A．
點評：本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．
　
5．（3分）（2013?衢州）若函數(shù)y= 的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是（　　）
　A．m＜?2B．m＜0C．m＞?2D．m＞0
考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)．
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得m+2＜0，再解不等式公式即可．
解答：解：∵函數(shù)y= 的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得：m＜?2，
故選：A．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對于反比例函數(shù)y=，當(dāng)k＞0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當(dāng)k＜0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．
　
6．（3分）（2013?衢州）將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長為（　�。�
　A．3cmB．6cmC． cmD． cm
考點：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
分析：過另一個頂點C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊．
解答：解：過點C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故選：D．
點評：此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊．
　
7．（3分）（2013?衢州）一次數(shù)學(xué)測試 ，某小組五名同學(xué)的成績?nèi)缦卤硭�示（有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋）．
組員日期甲乙丙丁戊方差平均成績
得分8179■8082■80
那么被遮蓋的兩個數(shù)據(jù)依次是（　�。�
　A．80，2B．80， C．78，2D．78，
考點：方差；算術(shù)平均數(shù)．
分析：根據(jù)平均數(shù)的計算公式先求出丙的得分，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計算即可得出答案．
解答：解：根據(jù)題意得：
80×5?（81+79+80+82）=78，
方差= [（81?80）2+（79?80）2+（78?80）2+（80?80）2+（82?80）2]=2．
故選C．
點評：本題考查了平均數(shù)與方差，掌握平均數(shù)和方差的計算公式是解題的關(guān)鍵，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2= [（x1?）2+（x2?）2+…+（xn?）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
　
8．（3分）（2013?衢州）如圖，小敏同學(xué)想測量一棵大樹的高度．她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30°，再往大樹的方向前進(jìn)4 m，測得仰角為60°，已知小敏同學(xué)身高（AB）為1.6m，則這棵樹的高度為（　�。�（結(jié)果精確到0.1m， ≈1.73）．
　A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
專題：．
分析：設(shè)CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由樹高=CD+FD即可得出答案．
解答：解：設(shè)CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
則AD= x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
則ED= x，
由題意得，AD?ED= x? x=4，
解得：x=2 ，
則這棵樹的高度=2 +1.6≈5.1m．
故選D．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識表示出相關(guān)線段的長度．
　
9．（3分）（2013?衢州）拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y=（x?1）2?4，則b、c的值為（　　）
　A．b=2，c=?6B．b=2，c=0C．b=?6，c=8D．b=?6，c=2
考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析：先確定出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減求出平移前的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后寫出平移前的拋物線的頂點式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．
解答：解：函數(shù)y=（x?1）2?4的頂點坐標(biāo)為（1，?4），
∵是向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到，
∴1?2=?1，?4+3 =?1，
∴平移前的拋物線的頂點坐標(biāo)為（?1，?1），
∴平移前的拋物線為y=（x+1）2?1，
即y=x2+2x，
∴b=2，c=0．
故選B．
點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點的變化確定函數(shù)解析式可以使計算更加簡便．
　
10．（3分）（2013?衢州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，沿A→D→C→B→A 的路徑勻速移動，設(shè)P點經(jīng)過的路徑長為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（　　）
　A． B． C． D．
考點：動點問題的函數(shù)圖象．
分析：根據(jù)動點從點A出發(fā)，首先向點D運動，此時y不隨x的增加而增大，當(dāng)點p在DC山運動時，y隨著x的增大而增大，當(dāng)點p在CB上運動時，y不變，據(jù)此作出選擇即可．
解答：解：當(dāng)點P由點A向點D運動時，y的值為0；
當(dāng)點p在DC上運動時，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)點p在CB上運動時，y不變；
當(dāng)點P在BA上運動時，y隨x的增大而減小．
故選B．
點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢．
　
二、題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分．）
11．（4分）（2013?衢州）不等式組 的解集是　x≥2　．
考點：解一元一次不等式組．
專題：．
分析：分別計算出每個不等式的解集，再求其公共部分．
解答：解： ，
由①得，x≥2；
由②得，x≥?；
則不等式組的解集為x≥2．
故答案為x≥2．
點評： 本題考查了解一元一次不等式組，找到公共解是解題的關(guān)鍵，求不等式的公共解 ，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
　
12．（4分）（2013?衢州）化簡： =　 �。�
考點：分式的加減法．
專題：．
分析：先將x2?4分解為（x+2）（x?2），然后通分，再進(jìn)行計算．
解答：解： = = = ．
點評：本題考查了分式的計算和化簡．解決這類題關(guān)鍵是把握好通分與約分．分式加減的本質(zhì)是通分，乘除的本質(zhì)是約分．
　
13．（4分）（2013?衢州）小芳同學(xué)有兩根長度為4cm、10cm的木棒，她想釘一個三角形相框，桌上有五根木棒供她選擇（如圖所示），從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是　�。�
考點：概率公式；三角形三邊關(guān)系．
分析：由桌上有五根木棒供她選擇（如圖所示），從中任選一根，能釘成三角形相框的有：10cm，12cm長的木棒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵小芳同學(xué)有兩根長度為4cm、10cm的木棒，
∴桌上有五根木棒供她選擇（如圖所示），從中任選一根，能釘成三角形相框的有：10cm，12cm長的木棒，
∴從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是：．
故答案為：．
點評：此 題考查了概率公式的應(yīng)用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
14．（4分）（2013?衢州）如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合，重疊部分的量角器�。� ）對應(yīng)的圓心角（∠AOB）為120°，OC的長為2cm，則三角板和量角器重疊部分的面積為　 +2 �。�
考點：扇形面積的計算．
專題：數(shù)形結(jié)合．
分析：在Rt△OBC 中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面積即可得出答案．
解答：解：∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OB=4cm，BC=2 cm，
則S扇形OAB= = ，S△OBC=OC×BC=2 ，
故S重疊=S扇形OAB+S△OBC= +2 ．
故答案為： +2 ．
點評：本題考查了扇形的面積計算，解答本題關(guān)鍵是求出扇形的半徑，注意熟練掌握扇形的面積公式，難度一般．
　
15．（4分）（2013?衢州）某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結(jié)600個橘子．根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一顆樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橘子．設(shè)果園增種x棵橘子樹，果園橘子總個數(shù)為y個，則果園里增種　10　棵橘子樹，橘子總個數(shù)最多．
考點：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：根據(jù)題意設(shè)多種x棵樹，就可求出每棵樹的產(chǎn)量，然后求出總產(chǎn)量y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出x=? 時，y最大．
解答：解：假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有（x+100）棵橙子樹，
∵每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子，
∴這時平均每棵樹就會少結(jié)5x個橙子，
則平均每棵樹結(jié)（600?5x）個橙子．
∵果園橙子的總產(chǎn)量為y，
∴則y=（x+100）（600?5x）
=?5x2+100x+60000，
∴當(dāng)x=? =? =10（棵）時，橘子總個數(shù)最多．xkb1.com
故答案為：10．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題意，列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
　
16．（4分）（2013?衢州）如圖，在菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°．順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊
形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去…．則四邊形A2B2C2D2的周長是　20��；四邊形A2013B2013C2013D2013的周長是　 �。�
考點：中點四邊形；菱形的性質(zhì)．
專題：規(guī)律型．
分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長得出規(guī)律求出即可．
解答：解：∵菱形ABCD中，邊長為10，∠A=60°，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點，
∴△AA1D1是等邊三角形，四邊形A2B2C 2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1=AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四邊形A2B2C2D2的周長是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5×，C3D3=AC=×5 ，
A5D5=5×（）2，C5D5=AC=（）2×5 ，
…
∴四邊形A2013B2013C2013D2013的周長是： = ．
故答案為：20， ．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點四邊形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
　
三、簡答題（本大題共有8小題，共66分．務(wù)必寫出解答過程．）
17．（6分）（2013?衢州） ?23÷?2×（?7+5）
考點：實數(shù)的運算．
專題：計算題．
分析：先進(jìn)行開方和乘方運算得到原式=2?8÷2×（?2），再進(jìn)行乘除運算，然后進(jìn)行加法運算．
解答：解：原式=2?8÷2×（?2）
=2+8
=10．
點評：本題考查了實數(shù)的運算：先算乘方或開方，再算乘除，然后進(jìn)行加減運算；有括號先算括號．
　
18．（6分）（2013?衢州）如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形．
（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積；
（2）當(dāng)a=6，b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長．
考點：一元二次方程的應(yīng)用．
專題：幾何圖形問題．
分析：（1）邊長為x的正方形面積為x2，矩形面積減去4個小正方形的面積即可．
（2）依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積，列方程求出x的值即可．
解答：解：（1）ab?4x2；（2分）
（2）依 題意有：ab?4x2=4x2，（4分）
將a=6，b=4，代入上式，得x2=3，（6分）
解得x1= ，x2=? （舍去）．（7分）
即正方形的邊長為
點評：本題是利用方程解答幾何問題，充分體現(xiàn)了方程的應(yīng)用性．
依據(jù)等量關(guān)系“剪去部分的面積等于剩余部分的面積”，建立方程求解．
　
19．（6分）（2013?衢州）如圖，函數(shù)y1=?x+4的圖象與函數(shù)y2= （x＞0）的圖象交于A（a，1）、B（1，b）兩點．
（1）求函數(shù)y2的表達(dá)式；
（2）觀察圖象，比較當(dāng)x＞0時，y1與y2的大小．
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
分析：（1）由函數(shù)y1=?x+4的圖象與函數(shù)y2= （x＞0）的圖象交于A（a，1）、B（1，b）兩點，把A代入函數(shù)y1=?x+4，可求得A的坐標(biāo)，繼而求得函數(shù)y2的表達(dá)式；
（2）觀察圖象可得即可求得：當(dāng)x＞0時，y1與y2的大�。�
解答：解：（1）把點A坐標(biāo)代入y1=?x+4，
得?a+4=1，
解得：a=3，…（1分）
∴A（3，1），
把點A坐標(biāo)代入y2= ，
∴k2=3，
∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=； …（3分）
（2）∴由圖象可知，
當(dāng)0＜x＜1或x＞3時，y1＜y2，…（4分）
當(dāng)x=1或x=3時，y1=y2，…（5分）
當(dāng)1＜x＜3時，y1=y2． …（6分）
點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
20．（8分）（2013?衢州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連結(jié)OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
考點：切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）首選連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易證得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AD：OC的值．
解答：（1）證明：連結(jié)DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分）
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．…（2分）
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS）…（3分）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．…（4分）
（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．…（5分）
∵DE=2BC，
∴ED=2CD． …（6分）
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．…（7分）
∴ ．…（8分）
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
21．（8分）（2013?衢州）據(jù)《2014年衢州市國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》（2013年2月5日發(fā)布），衢州市固定資產(chǎn)投資的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖如下：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求2014年的固定資產(chǎn)投資增長速度（年增長速度即年增長率）；
（2）求2005?2014年固定資產(chǎn)投資增長速度這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）求2006年的固定資產(chǎn)投資金額，并補全條形圖；
（4）如果按照2014年的增長速度，請預(yù)測2013年衢州市的固定資產(chǎn)投資金額可達(dá)到多少億元（精確到1億元）？
考點：折線統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù)．
分析：（1）根據(jù)2014年和2014年投資進(jìn)而求出增長率即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義，按大小排列后找出最中間的兩個求出平均數(shù)即可；
（3）設(shè)2006年的固定資產(chǎn)投資金額為x億元，進(jìn)而得出280?x=12%x求出即可；
（4）根據(jù)2014年的增長率，得出565×（1+13%）求出即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得出：
×100%=13%；
答：2014年的固定資產(chǎn)投資增長速度為13%；
（2）數(shù)據(jù)按大小排列得出：
10.71%，12%，13%，13.16%，16.28%，18.23%，22.58，25%，
∴中位數(shù)為： =14.72%；
答：2005?2014年固定資產(chǎn)投資增長速度這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是14.72%；
（3）設(shè)2006年的 固定資產(chǎn)投資金額為x億元，則有：
280?x=12%x（或x?200=25%×200），
解得：x=250，
答：2006年的投資額是250億元；
如圖所示；
（4）565×（1+13%）=638.45≈638（億元），
答：預(yù)測2013年可達(dá)638億元．
點評：此題主要考查了折線圖與條形圖以及增長率和中位數(shù)的定義等知識，根據(jù)已知得出增長率求法是解題關(guān)鍵．
　
22．（10分）（2013?衢州）【提出問題】
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；
（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到 = ，根據(jù)∠BAM=∠BAC?∠MAC， ∠CAN=∠MAN?∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌ △CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴ = ，
又∵∠BAM=∠BAC?∠MAC，∠CAN=∠MAN?∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．
　
23．（10分）（2013?衢州）“五?一”假期，某火車客運站旅客流量不斷增大，旅客往往需要長時間排隊等候檢票．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在車站開始檢票時，有640人排隊檢票．檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排 隊檢票進(jìn)站．設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的．檢票時，每分鐘候車室新增排隊檢票進(jìn)站16人，每分鐘每個檢票口檢票14人．已知檢票的前a分鐘只開放了兩個檢票口．某一天候車室排隊等候檢票的人數(shù)y（人）與檢票時間x（分鐘）的關(guān)系如圖所示．
（1）求a的值．
（2）求檢票到第20分鐘時，候車室排隊等候檢票的旅客人數(shù)．
（3）若要在開始檢票后15分鐘內(nèi)讓所有排隊的旅客都能檢票進(jìn)站，以便后來到站的旅客隨到隨檢，問檢票一開始至少需要同時開放幾個檢票口？
考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）根據(jù)原有的人數(shù)?a分鐘檢票額人數(shù)+a分鐘增加的人數(shù)=520建立方程求出其解就可以；
（2）設(shè)當(dāng)10≤x≤30時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再將x=20代入解析式就可以求出結(jié)論；
（3）設(shè)需同時開放n個檢票口，根據(jù)原來的人數(shù)+15分進(jìn)站人數(shù)≥n個檢票口15分鐘檢票人數(shù)建立不等式，求出其解即可．
解答：解：（1）由圖象知，640+16a?2×14a=520，
∴a=10；
（2）設(shè)當(dāng)10≤x≤30時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由題意，得
，
解得： ，
y=?26x+780，當(dāng)x=2時，
y=260，
即檢票到第20分鐘時，候車室排隊等候檢票的旅客有260人．
（3）設(shè)需同時開放n個檢票口，則由題意知
14n×15≥640+16×15
解得：n≥4 ，
∵n為整數(shù)，
∴n=5．
答：至少需要同時開放5個檢票口．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，一元一次不等式的運用，解答的過程中求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，建立一元一次不等式是重點．
　
24．（12分）（2013?衢州）在平面直角坐標(biāo)系x、y中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒 個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P移動到點D時，求出此時t的值；
（2）當(dāng)t為何值時，△PQB為直角三角形；
（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=?（x?t）2+t（t＞0）．問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°后，三個對應(yīng)頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出DO的長，進(jìn)而得出t的值；
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出PB2=（6?t）2+（2?t）2，QB2=（6?2t）2+22，PQ2=（2t?t）2+t2=2t2，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；
（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°，三個對應(yīng)頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對稱性可求出t的值．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2 ，
∴t= =2；
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如圖1，作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP= t，∴OG=PG=t，
∴點P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據(jù)勾股定理可得：PB2=（6?t）2+（2?t）2，QB2=（6?2t）2+22，PQ2=（2t?t）2+t2=2t2，
①若∠PQB=90°，則有PQ2+BQ2=PB2，
即：2t2+[（6?2t）2+22]=（6?t）2+（2?t）2，
整理得：4t2?8t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，則有PB2+QB2=PQ2，
∴[（6?t） 2+（2?t）2]+[（6?2t）2+22]=2t2，
整理得：t2?10t+20=0，
解得：t=5± ．
∴當(dāng)t=2或t=5+ 或t=5? 時，△PQB為直角三角形．
解法2：①如圖2，當(dāng)∠PQB=90°時，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2，∴OQ=4，
∴2t=4，
∴t=2，
②如圖3，當(dāng)∠PBQ=90°時，若點Q在OC上，
作PN⊥x軸于點N，交AB于點M，
則易證∠PBM=∠CBQ，
∴△PMB∽△QCB
∴ = ，
∴CB?PM=QC?MB，
∴2（t?2）=（2t?6）（t?6），
化簡得t2?10t+20=0，
解得：t=5± ，
∴t=5? ；
③如圖3，當(dāng)∠PBQ=90°時，若點Q在OC的延長線上，
作PN⊥x軸于點N，交AB延長線于點M，
則易證∠BPM=∠MBQ=∠BQC，
∴△PMB∽△QCB，
∴ = ，
∴CB?PM=QC?MB，
∴2（t?2）=（2t?6）（t?6），
化簡得t2?10t+20=0，
解得：t=5± ，
∴t=5+ ；
（3）存在這樣的t值，理由如下：
將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°，三個對應(yīng)頂點恰好都落在拋物線上，
則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)可表示為（t， t），
∵點B坐標(biāo)為（6，2），∴點B′的坐標(biāo)為（3t?6，t?2），
代入y=?（x?t）2+t，得：2t2?13t+18=0，
解得：t1=，t2=2．
點評：本題考查了相似形綜合題，涉及了動點問題，勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是討論點P的位置，由題意建立方程從而求出符合題意的t值，同時要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考，難度較大．


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