圓與圓位置關(guān)系是幾何的一個重要內(nèi)容，也是中的難點(diǎn)，本文介紹圓與圓的位置關(guān)系中常見的五種輔助線的作法。
1. 作相交兩圓的公共弦
利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。
例1. 如圖1，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作直線CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE＝DF。

圖1
分析：CE和DF分別是⊙O1和⊙O2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。
證明：連結(jié)AB
因?yàn)?br>又
所以
即CE//DF
又CD//EF
所以四邊形CEFD為平行四邊形
即CE＝DF
2. 作兩相交圓的連心線
利用過交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問題。
例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn) 初三，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數(shù)。

圖2
分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側(cè)或異側(cè)，要求的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。
解：當(dāng)AB位于O1、O2異側(cè)時，如圖2。
連結(jié)O1、O2，交AB于C，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得

故
當(dāng)AB位于O1、O2同側(cè)時，如圖3

圖3
則
綜上可知或
3. 兩圓相切，作過切點(diǎn)的公切線
利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系
例3. 如圖4，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，A是⊙O1上的一點(diǎn)，直線AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直線AP交⊙O2于D。求證PC平分。

圖4
分析：要證PC平分，即證
而的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。
若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T
易知
由弦切角定理，得
又是的一個外角
所以
又
從而有
即PC平分
4. 兩圓相切，作連心線
利用連心線經(jīng)過切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計(jì)算問題。
例4. 如圖5，⊙O1與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O1經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC，交⊙O1于點(diǎn)D，EF為過點(diǎn)A的公切線，若，求的度數(shù)。

圖5
分析：是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O1O2、O1A，則O1O2必過點(diǎn)A，且O2A為⊙O1的直徑，易知。
連結(jié)DA，則
于是
又為銳角
所以
從而有
5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線
有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。
例5. 如圖6，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為，，求兩圓的半徑。

圖6
分析：如圖6，連結(jié)O1O2、O1A、O2B，過點(diǎn)O2作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。
請同學(xué)們自己給出解答。
（答案：兩圓的半徑分別為3和1）


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chuzhong/31954.html

相關(guān)閱讀：學(xué)好初中數(shù)學(xué)的四個方法