中山一中2014-2014學年度高二數(shù)學（理科）期中考試題
一、：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的代號填入答題卡中相應的題號下。）
1．若 ．則下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“x = y”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知數(shù)列 是等比數(shù)列，且 ， ，那么 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．設 ，若 是 與 的等比中項，則 的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
5．在 高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底俯角分別為 ，則塔高為（ ）
A． B． C． D．
6．若 中 ，則 的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．已知一個等差數(shù)列的前四項之和為21，末四項之和為67，前 項和為286，則項數(shù) 為（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
8．在等差數(shù)列 中 ，且 ，則使前 項和 取最小值
的 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分，請將正確答案的直接填入答題卡中相應的題號下。）
9．若 ， ，則 、 、 、 由小到大的順序是_____________（用“ ”連接）．
10． 中已知 ，則 的面積為______________．
11． 是等差數(shù)列， ， ，則 ．
12．已知點（3，1）和（－4，6）在直線 的兩側(cè)，則的取值范圍
是 ．
13．已知銳角三角形的邊長分別為2、4、 ，則 的取值范圍是______________．
14．等比數(shù)列 中，公比 ，且 ，
則 _____________．
中山一中2014-2014學年度高二數(shù)學（理科）期中考
試題答題卷
得分__________
一、：（每小題5分，共40分）
題號12345678
答案
二、題：（每小題5分，共30分）
9． __ ； 10．______________ ； 11．______________；
12． __ ； 13． ________ ； 14． __________ ．
三、解答題：（共80分）
15．（本題12分）設 ．
（1）當 時，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集為 ，求 的值．
16．（本題12分）在 中， ， ， ．
（1）求邊長 、 的值； （2）求 的值．
17．（本題14分）已知等差數(shù)列 的前 項和為 ，且 ， ．
（1）求 的通項公式；
（2）設 ，求證：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求其前 項和 ．
18．（本題14分）一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為400公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤賣3元．現(xiàn)該農(nóng)民手頭有400元，兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？
19．（本題14分）如圖所示，巡邏艇在A處測得某走私船在東偏南 方向距A處9海里的B處，正向南偏西 方向行駛，速度為20海里/小時，如果巡邏艇以航速28海里/小時，則應在什么方向用多少時間才能追上這艘走私艇？（ ）
20．（本題14分）數(shù)列 的前 項和記為 ， ， （ ） （Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列 的各項為正，其前 項和為 ，且 ，又 ，
， 成等比數(shù)列，求 的表達式；
（III）若數(shù)列 中 （ ），求數(shù)列 的前 項和 的
表達式．
中山一中2014-2014學年度高二數(shù)學（理科）期中考試題參考答案
一、選擇題：（每小題5分，共40分）
題號12345678
答案ABABADBB
二、填空題：（每小題5分，共30分）
9． ； 10． ； 11．300；
12． ； 13． 14． ．
三、解答題：（共80分）
15．（本題12分）設 ．
（1）當 時，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集為 ，求 的值．
解：（1）當 時，不等式 為：
因此所求解集為 ； …………………………6分
（2）不等式 即
由題意知 是方程 的兩根
因此 ． ………………12分
16．（本題14分）在 中， ， ， ．
（1）求邊長 、 的值； （2）求 的值．
解：（1）由 ，解得： ，
由 ，得 ；…………6分
（2）由正弦定理有： ，
………………………………12分
17．（本題14分）已知等差數(shù)列 的前 項和為 ，且 ， ．
（1）求 的通項公式；
（2）設 ，求證：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求其前 項和 ．
解：（1） ， ，解得 ， ，
； ………………………………7分
（2） ， ，
于是數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列；
其前 項的和 ． …………………………14分
18．（本題14分）一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為400公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤賣3元．現(xiàn)該農(nóng)民手頭有400元，兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？
解：設該農(nóng)民種 畝水稻， 畝花生時，能獲得利潤 元．則
即 ………………2分
即 ………………4分
作出可行域如圖陰影部分所示， ………………8分
作出基準直線 ，在可行域內(nèi)平移直線 ，可知當直線過點 時，縱截距 有最大值，…………………………10分
由 解得 ，…………………………12分
故當 ， 時， 元，…………………………13分
答：該農(nóng)民種 畝水稻， 畝花生時，能獲得最大利潤，最大利潤為1650元．…………………14分
19．（本題14分）如圖所示，巡邏艇在A處測得某走私船在東偏南 方向距A處9海里的B處，正向南偏西 方向行駛，速度為20海里/小時，如果巡邏艇以航速28海里/小時，則應在什么方向用多少時間才能追上這艘走私艇？（ ）
解：設巡邏艇用 小時在C處追上走私船．
依題意，在 中， ， ，
，
由正弦定理得：
又 ， 所以 ……………6分
由
答：巡邏艇應向東偏南 ，用 分鐘就能追上走私船．…………………14分
20．（本題14分）數(shù)列 的前 項和記為 ， ， （ ）．
（Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列 的各項為正，其前 項和為 ，且 ，又 ， ， 成等比數(shù)列，求 的表達式；
（III）若數(shù)列 中 （ ），求數(shù)列 的前 項和 的表達式．
解：（Ⅰ） 由 可得 （ ），
兩式相減得 ，于是 （ ），
又 ∴ ，
故 是首項為 ，公比為 得等比數(shù)列， ∴ ………………4分
（Ⅱ）設 的公差為 ， 由 ，可得 ，得 ，
故可設 ， 又 ， ， ，
由題意可得 ， 解得 ， ，
∵等差數(shù)列 的各項為正，∴ ，于是 ，
； ……………………………8分
（III） （ ）， （ ）， （ ），
①
于是， ②
兩式相減得：


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