選修2-2 1.1 第3課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
一、
1．如果曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f′(x0)＞0　　　　　　B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[答案]　B
[解析]　切線x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f′(x0)＝－12＜0.故應(yīng)選B.
2．曲線y＝12x2－2在點(diǎn)1，－32處切線的傾斜角為(　　)
A．1 B.π4
C.54π D．－π4
[答案]　B
[解析]　∵y′＝limΔx→0 [12(x＋Δx)2－2]－(12x2－2)Δx
＝limΔx→0 (x＋12Δx)＝x
∴切線的斜率k＝y(tǒng)′x＝1＝1.
∴切線的傾斜角為π4，故應(yīng)選B.
3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為π4的點(diǎn)是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C.14，116 D.12，14
[答案]　D
[解析]　易求y′＝2x，設(shè)在點(diǎn)P(x0，x20)處切線的傾斜角為π4，則2x0＝1，∴x0＝12，∴P12，14.
4．曲線y＝x3－3x2＋1在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為(　　)
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
[答案]　B
[解析]　y′＝3x2－6x，∴y′x＝1＝－3.
由點(diǎn)斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
5．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足limx→0 f(1)－f(1－2x)2x＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為(　　)
A．2　　　　B．－1　 　　
C．1　　　　D．－2
[答案]　B
[解析]　limx→0 f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0 f(1－2x)－f(1)－2x
＝－1，即y′x＝1＝－1，
則y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選B.
6．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(　　)
A．不存在 B．與x軸平行或重合
C．與x軸垂直 D．與x軸斜交
[答案]　B
[解析]　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知B正確，故應(yīng)選B.
7．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)及f′(5)分別為(　　)
A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
[答案]　B
[解析]　由題意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故應(yīng)選B.
8．曲線f(x)＝x3＋x－2在P點(diǎn)處的切線平行于直線y＝4x－1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,4)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝x3＋x－2，設(shè)xP＝x0，
∴Δy＝3x20?Δx＋3x0?(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，
∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，
∴3x20＋1＝4，x20＝1.∴x0＝±1，
故P(1,0)或(－1，－4)，故應(yīng)選A.
9．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－3x＋23上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍為(　　)
A.0，π2∪23π，π B.0，π2∪56π，π
C.23π，π D.π2，56π
[答案]　A
[解析]　設(shè)P(x0，y0)，
∵f′(x)＝limΔx→0 (x＋Δx)3－3(x＋Δx)＋23－x3＋3x－23Δx
＝3x2－3，∴切線的斜率k＝3x20－3，
∴tanα＝3x20－3≥－3.
∴α∈0，π2∪23π，π.故應(yīng)選A.
10．(2010?福州高二期末)設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，π4]，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(　　)
A．[－1，－12] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[12，1]
[答案]　A
[解析]　考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
∵y′＝2x＋2，且切線傾斜角θ∈[0，π4]，
∴切線的斜率k滿足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－12.
二、題
11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．
[答案]　4x－y－1＝0
[解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4?Δx＋(Δx)2
∴ΔyΔx＝4＋Δx.∴l(xiāng)imΔx→0 ΔyΔx＝4.即f′(2)＝4.
又切線過(2,7)點(diǎn)，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y－7＝4(x－2)
即4x－y－1＝0.
12．若函數(shù)f(x)＝x－1x，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為________．
[答案]　y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
[解析]　由f(x)＝x－1x＝0得x＝±1，即與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(－1,0)．
∵f′(x)＝limΔx→0 (x＋Δx)－1x＋Δx－x＋1xΔx
＝limΔx→0 1＋1x(x＋Δx)＝1＋1x2.
∴切線的斜率k＝1＋11＝2.
∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
13．曲線C在點(diǎn)P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)有________個(gè)．
[答案]　至少一
[解析]　由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點(diǎn)，故雖然相切，但直線與曲線公共點(diǎn)至少一個(gè)．
14．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為________．
[答案]　3x－y－11＝0
[解析]　設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為 ，它是x0的函數(shù)，求出其最小值．
設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，過點(diǎn)P的切線斜率k＝ ＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.當(dāng)x0＝－1時(shí)k有最小值3，此時(shí)P的坐標(biāo)為(－1，－14)，其切線方程為3x－y－11＝0.
三、解答題
15．求曲線y＝1x－x上一點(diǎn)P4，－74處的切線方程．
[解析]　∴y′＝limΔx→0 1x＋Δx－1x－(x＋Δx－x)Δx
＝limΔx→0 －Δxx(x＋Δx)－Δxx＋Δx＋xΔx
＝limΔx→0 －1x(x＋Δx)－1x＋Δx＋x＝－1x2－12x .
∴y′x＝4＝－116－14＝－516，
∴曲線在點(diǎn)P4，－74處的切線方程為：
y＋74＝－516(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
16．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；
(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于點(diǎn)P的直線方程y＝g(x)．
[解析]　(1)y′＝limΔx→0 (x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3xΔx＝3x2－3.
則過點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線的斜率
k1＝f′(1)＝0，
∴所求直線方程為y＝－2.
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x30－3x0)，
則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3x20－3，
∴直線l的方程為y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)
又直線l過點(diǎn)P(1，－2)，
∴－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，
∴x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.
故所求直線斜率k＝3x20－3＝－94，
于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14.
17．求證：函數(shù)y＝x＋1x圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.
[解析]　y′＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx
＝limΔx→0 x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx
＝limΔx→0 x?Δx(x＋Δx)－Δx(x＋Δx)?x?Δx
＝limΔx→0 (x＋Δx)x－1(x＋Δx)x
＝x2－1x2＝1－1x2＜1，
∴y＝x＋1x圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.
18．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.
(1)求直線l2的方程；
(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．
[解析]　(1)y′x＝1
＝limΔx→0 (1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，
所以l1的方程為：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
設(shè)l2過曲線y＝x2＋x－2上的點(diǎn)B(b，b2＋b－2)，
y′x＝b＝limΔx→0 (b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx
＝2b＋1，所以l2的方程為：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)?(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因?yàn)閘1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程為：y＝－13x－229.
(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，
即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為16，－52.
又l1，l2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，－223，0.


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