北京市石景山區(qū)2014屆高三第一學期期末測試數(shù)學理試題
　　本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結束后上交答題卡.
第一部分（ 共40分）
一、共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知集合，，那么（ ）
A．　B．
C．　D．
2．復數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，則“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為，
則輸出的的值為（　　）
A．B．
C．D．

6． 在邊長為的正方形中任取一點，則點恰好落在正方形與曲線圍成的區(qū)域內(陰影部分)的概率為（ ）
A．B．
C．D．

7．用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．B． C．D．
8．已知函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

第二部分（非選擇題 共110分）
二、題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)，則圓的直角坐標方程為_______________，圓心到直線的距離為______．
10．在中，角的對邊分別為，若，，，則______．
11． 若，滿足約束條件則的最大值為 ．
12．如圖，已知在中，，是上一點，
以為圓心，為半徑的圓與交于點，與切
于點，，，則的長為 ，
的長為 ．
13．已知拋物線的焦點為，準線為直線，過拋物線上一點作于，若直線的傾斜角為，則______．
已知四邊形是邊長為的正方形，且平面，為上動點，過且垂直于的平面交于，那么異面直線與所成的角的度數(shù)為 ，當三棱錐的體積取得最大值時， 四棱錐的高的長為 ．

三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
15．（本小題滿分13分）
　　已知函數(shù)．
　�。á瘢┣蠛瘮�(shù)的單調遞增區(qū)間；
　�。á颍┣蠛瘮�(shù)在上的最小值，并寫出取最小值時相應的值．

16．（本小題滿分13分）
　　北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為分，規(guī)定測試成績在之間為體質優(yōu)秀；在之間為體質良好；在之間為體質合格；在之間為體質不合格．
現(xiàn)從某校高三年級的名學生中隨機抽取名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如下：
91356
80112233344566779
7056679
6458
56
　　
　　（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優(yōu)秀的學生人數(shù)；
　　（Ⅱ）根據(jù)以上名學生體質健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質為優(yōu)秀和良好的學生中抽取名學生，再從這名學生中選出人．
　�。�?）求在選出的名學生中至少有名體質為優(yōu)秀的概率；
　�。�?）記為在選出的名學生中體質為良好的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．

17.（本小題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
，∥，且，，為的中點．
　�。á瘢┣笞C：平面；
　�。á颍┣蠖�面角的余弦值；
　�。á螅┰诰�段上是否存在一點（不與兩點重合），使得∥平面?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

18．（本小題滿分13分）
　　已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
　�。á瘢┊敃r，求曲線在點處的切線方程；
　　（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
　　（Ⅲ）已知函數(shù)在處取得極小值，不等式的解集為，若，且，求實數(shù)的取值范圍.

19．（本小題滿分14分）
　　已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
　�。á瘢┣髾E圓的方程；
　�。á颍┤魟狱c在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

20．（本小題滿分13分）
　　已知集合，對于數(shù)列中.
　�。á瘢┤繇棓�(shù)列滿足，，則數(shù)列中有多少項取值為零？()
　�。á颍┤舾黜椃橇銛�(shù)列和新數(shù)列滿足（）．
　�。�?）若首項，末項，求證數(shù)列是等差數(shù)列；
（?）若首項，末項，記數(shù)列的前項和為，求的最大值和最小值．

石景山區(qū)2015—2015學年第一學期期末考試
高三數(shù)學（理科）參考答案

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．
題號12345678
答案DCAACBBD

二、題共6小題，每小題5分，共30分．
題號91011121314
答案，，

(兩空的題目第一空2分，第二空3分)

三、解答題共6小題，共80分．
15．（本小題共13分）
　　解：（Ⅰ） …………2分
　　 ， ……………4分
　　 ，， ，， ………6分
　　所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為． ……………7分
　�。á颍┮驗椋�， ……………9分
　　　　　　， ， ……………11分
　　 所以當，即時，函數(shù)取得最小值．………13分
16．（本小題共13分）
解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計該校高三學生中體質為優(yōu)秀的學生人數(shù)有人．…………3分
�。á颍┮李}意，體質為良好和優(yōu)秀的學生人數(shù)之比為 ．
所以，從體質為良好的學生中抽取的人數(shù)為，從體質為優(yōu)秀的學生中抽取的人數(shù)為．…6分
　　�。�?）設“在選出的名學生中至少有名體質為優(yōu)秀”為事件，
　　　則 ． 故在選出的名學生中至少有名體質為優(yōu)秀的概率為．……9分
　　�。�?）解：隨機變量的所有取值為．，
，． …………12分
　　　所以，隨機變量的分布列為:
　　　　
　　�。� ……………13分
17．（本小題共14分）
（Ⅰ）證明：
　　　因為平面，平面，
　　　所以. ……………1分
　　　取的中點，連結，
　　　因為底面為直角梯形，∥，，且，
　　　所以四邊形為正方形，所以，且，
　　　所以，即. ……………3分
　　　又，所以平面. ……………4分
（Ⅱ）解：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．………5分
　　　則，，，，
　　　所以，，．
　　　因為平面，所以為平面的一個法向量． ……6分
　 設平面的法向量為，
　 由，得
　 令，則，，
　 所以是平面的一個法向量． ………8分
　 所以
　 因為二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為． ………9分
（Ⅲ）解：假設在線段上存在點（不與兩點重合），使得∥平面．
設，則，．
設平面的法向量為，
　　　由，得
　　　令，則，，
所以是平面的一個法向量．…12分
　　　因為∥平面，所以，即， ……………13分
　　　解得，
　　　所以在線段上存在一點（不與兩點重合），使得∥平面，且．……14分
18.（本小題共13分）
解：（Ⅰ）當時，，，，得，………2分
　　所以曲線在點處的切線方程為. ……………3分
　�。á颍�.
　　當時，恒成立，此時的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；………5分
　　當時，時，，時，，
　　此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.……7分
（Ⅲ）由題意知得，經(jīng)檢驗此時在處取得極小值. ………8分
　　因為，所以在上有解，即使成立，…9分
　　即使成立， …………10分
　　所以.
　　令，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
　　則， ……………12分
所以. ……………13分
19．（本小題共14分）
解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以， 所以， …………1分
因為橢圓的離心率為， 所以，即 ， …………2分
解得， ……………4分
所以橢圓的方程為. ……………5分
　　 （Ⅱ）設，，
　　 ①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，
　　 由得， ………7分
　　　　所以， ……………8分
　　　　因為，即為中點，所以，即.
　　 所以， ……………9分
　　 因為直線， 所以，所以直線的方程為，
　　　　即 ，顯然直線恒過定點. ……………11分
　　　�、诋斨本�的斜率不存在時，直線的方程為，
　　　　此時直線為軸，也過點. ……………13分
　　　　綜上所述直線恒過定點. ……………14分
20．（本小題共13分）
　　解：（Ⅰ）設數(shù)列中項為分別有項．由題意知
　　解得．所以數(shù)列中有項取值為零． ……3分
　�。á颍�
　�。�?）且，得到，
　　若，則滿足．此時，數(shù)列是等差數(shù)列；
　　若中有個，則不滿足題意；
　　所以數(shù)列是等差數(shù)列． ……………7分
　�。�?）因為數(shù)列滿足，所以，
　　根據(jù)題意有末項，所以．
　　而，于是為正奇數(shù)，且中有個和個．

　　要求的最大值，則只需前項取，后項取，
　　所以 （為正奇數(shù)）．
　　要求的最小值，則只需前項取，后項取，
　　則 （為正奇數(shù)）． …………13分

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