2.1.1 合情推理

學習目標
1. 結合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義；2. 能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.
2. 結合已學過的數(shù)學實例，了解類比推理的含義;
3. 能利用類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.

學習過程
一、前準備

問題3：因為三角形的內角和是 ，四邊形的內角和是 ，五邊形的內角和是
……所以n邊形的內角和是

新知1：從以上事例可一發(fā)現(xiàn)：

叫做合情推理。歸納推理和類比推理是數(shù)學中常用的合情推理。
新知2：類比推理就是根據(jù)兩類不同事物之間具有
推測其中一類事物具有與另一類事物 的性質的推理.

簡言之，類比推理是由 的推理.

新知3歸納推理就是根據(jù)一些事物的 ,推出該類事物的

的推理. 歸納是 的過程

例子:哥德巴赫猜想：
觀察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7,
16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,
50=13+37, ……, 100=3+97，

猜想：

歸納推理的一般步驟
1 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質。
2 從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）。

※ 典型例題
例1用推理的形式表示等差數(shù)列1,3,5,7……2n-1，……的前n項和Sn的歸納過程。

變式1 觀察下列等式：1+3=4= ，
1+3+5=9= ，
1+3+5+7=16= ，
1+3+5+7+9=25= ，
……
你能猜想到一個怎樣的結論？

變式2觀察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一個怎樣的結論？

例2設 計算 的值，同時作出歸納推理，并用n=40驗證猜想是否正確。

變式：（1）已知數(shù)列 的第一項 ，且 ，試歸納出這個數(shù)列的通項公式
例3：找出圓與球的相似之處，并用圓的性質類比球的有關性質.

圓的概念和性質球的類似概念和性質
圓的周長

圓的面積

圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦
與圓心距離相等的弦長相等，

※ 動手試試

1. 觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，由此可以歸納出什么規(guī)律？

2 如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交。

3 如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行。

三、總結提升
※ 學習小結
1．歸納推理的定義.

2. 歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質；②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.

3. 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定真，但合情推理常常幫我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：
1.下列關于歸納推理的說法錯誤的是（ ）.
A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程
B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程
C.歸納推理得出的結論具有或然性，不一定正確
D.歸納推理具有由具體到抽象的認識功能

2. 已知 ，猜想 的表達式為（ ）.
A. B.
C. D.

3. ，經計算得 猜測當 時，有_________________________

4.下列說法中正確的是（ ）.
A.合情推理是正確的推理
B.合情推理就是歸納推理
C.歸納推理是從一般到特殊的推理
D.類比推理是從特殊到特殊的推理

5. 下面使用類比推理正確的是（ ）.
A.“若 ,則 ”類推出“若 ,則 ”
B.“若 ”類推出
“ ”
C.“若 ” 類推出“ （c≠0）”
D.“ ” 類推出“

后作業(yè)
1. 設 ，
，n∈N，則 （ ）.
A. B.－
C. D.－

2. 一同學在電腦中打出如下若干個圓
若將此若干個圓按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么在前2006個圓中有 個黑圓.

3. 在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是
4.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= ，觀察下列立方和：

13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……

試歸納出上述求和的一般公式。

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