課題§4 對數(shù)§4.1對數(shù)及其運算
一、教材及學(xué)情分析
對數(shù)及其運算是北師大版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)1（必修）》第三章第四單元第一節(jié)，是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)研究函數(shù)的一般方法、指數(shù)的概念及運算性質(zhì),基本掌握指數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)的基礎(chǔ)上引入的，既是指數(shù)有關(guān)知識的承接和延續(xù)，又是后續(xù)研究對數(shù)函數(shù)、探討函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ),本節(jié)共兩課時，本課是第一課時，重點研究對數(shù)的概念及其性質(zhì),教材以2000年國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值增幅為背景，引入對數(shù)概念，在使學(xué)生認(rèn)識引進對數(shù)必要性的同時,強化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，“思考交流”旨在引導(dǎo)學(xué)生進一步厘清指數(shù)式與對指數(shù)式之間的關(guān)系，明確1和底數(shù)對數(shù)的特點，深化真數(shù)取值范圍的理解，為對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)打下伏筆。常用對數(shù)及自然對數(shù)是對數(shù)的特例,教材將其安排在對數(shù)性質(zhì)之后，旨在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“特殊——一般——特殊”的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的理性思維。因此，本節(jié)內(nèi)容無論是只是傳承，還是數(shù)學(xué)思想方法的強化滲透，都具有非常重要的奠基作用。
經(jīng)歷了義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的高一學(xué)生，思維正處于由經(jīng)驗型向理論型過渡與轉(zhuǎn)型期，思維的發(fā)散性與聚斂性基本成型，已具有研究函數(shù)和從事簡單數(shù)學(xué)活動的能力，加之指數(shù)及指數(shù)函數(shù)等知識鋪墊，對于本單元學(xué)習(xí)奠定了必要的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)。
二、目標(biāo)
1、知識技能目標(biāo)
①理解對數(shù)的概念。
②理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)。
③理解指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，熟練地進行指數(shù)式與對數(shù)式互換。
2、過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷由指數(shù)得到對數(shù)的過程，掌握指數(shù)式與對數(shù)式互化方法；結(jié)合對數(shù)概念探究對數(shù)的性質(zhì)：0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)。 (a＞1,且a≠1)
3、情感態(tài)度與價值觀：
①通過指數(shù)式與對數(shù)式的互化，使學(xué)生感受對數(shù)式是指數(shù)式的另一種表達形式，進一步體會運用指數(shù)式探求對數(shù)的基本思路及方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力和嚴(yán)謹(jǐn)有序的思維品質(zhì)。
②通過隨堂提問、練習(xí)評價，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，增強學(xué)生的成功感體驗，幫助學(xué)生認(rèn)識自我、建立自信。
三、重點與難點
1、重點：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質(zhì)。
2、難點：對數(shù)概念的理解， 的推導(dǎo)及應(yīng)用。
四、教法選擇
根據(jù)教材及學(xué)情特點，本課以“嘗試指導(dǎo)，效果回授”法為主，輔之于討論法和自學(xué)輔導(dǎo)法。以問題為主線，活動為載體，力求創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境, 引導(dǎo)學(xué)生在在觀察中思考，在思考中探索，在探索中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中收獲，在收獲中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中升華，通過具有一定層次梯度的問題序列，多角度、全方位訓(xùn)練學(xué)生思維的聚斂性和發(fā)散性。為增大課堂容量，“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合”（課標(biāo)語），可借助多媒體輔助教學(xué),為學(xué)生的教學(xué)探究與教學(xué)思維提供支持。教具準(zhǔn)備：PPT演示文稿；學(xué)具準(zhǔn)備：教科書，課堂練習(xí)本。
五、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
1、莊子：一尺木垂，日取其豐，不世不竭，
問題：①�。创芜�有多長？怎樣計算？
②取多少次還有０.125尺?
2、如果2000年我國國民生產(chǎn)總值a億，如果每年增長8.2%， 那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2000年的2倍？
處理：問題1①由學(xué)生口答，教師根據(jù)學(xué)生回答情況板書① ，并揭示運算實質(zhì)。問題1②及問題2引導(dǎo)學(xué)生按照解決數(shù)學(xué)問題的常規(guī)步驟嘗試建構(gòu)方程，并板書如下
② ③ ？
誘導(dǎo)：式②③與式①有什么不同？如何求x呢？（教師結(jié)合學(xué)生對前一問題的回答，因勢利導(dǎo)，揭示②③的本質(zhì)——已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)，說明這就是本節(jié)課要研究的內(nèi)容，接著引入并板書課題）
（二）誘導(dǎo)嘗試，探究新知
1、引導(dǎo)觀察，探獲本質(zhì)——建構(gòu)對數(shù)概念
（1）誘導(dǎo)： 中x分別等于多少？目前大家沒有學(xué)過這種運算，可以定義一種新運算，（邊敘述邊板書：如果 ，那么x叫作以 為底0.125的對數(shù)，記作： ）；你們能模仿描述定義 中的x嗎？試試�。▽W(xué)生嘗試描述，教師根據(jù)學(xué)生描述板書）
問題1：你們還能舉出類似例子，并模仿表述嗎？（處理方法同上）
問題2：你們能結(jié)合以上實例給出一般性的結(jié)論嗎？（一名學(xué)生回答，發(fā)動其他學(xué)生參與補充）
（板書）定義：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b次冪等于N，即 ，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作： 中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)。（強調(diào)書寫規(guī)范要求，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書P78對數(shù)概念及P79兩種特殊對數(shù)及表示方法）
2、及時分化，適時類化——揭示概念本質(zhì)，探索對數(shù)性質(zhì)
（1）（課件出示）問題3：先獨立思考完成下表，后四人一組討論交流：①對數(shù)運算的實質(zhì)是什么？②零與負(fù)數(shù)有沒有對數(shù)？③ 與 有什么關(guān)系？④若將 中的b換成 ，你們有什么發(fā)現(xiàn)？若將 中的N換成 呢？
a的名稱a的取值范圍N的名稱N的取值范圍b的名稱b的取值范圍



【處理：①學(xué)生獨立探索、合作交流，教師巡回視導(dǎo)，重點關(guān)注學(xué)生是否從定義出發(fā)，考察相關(guān)字母名稱及取值范圍，因勢利導(dǎo)；②根據(jù)學(xué)生討論情況，運用自定義動畫完善此表；③結(jié)合學(xué)生討論板書如下：

性質(zhì)：（1）零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)
（2） 或
（三）變式訓(xùn)練，鞏固新知
（課件展示）問題1：將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
處理：（1）提兩名學(xué)生板演，將其余學(xué)生按座次左右依次分為A、B兩組，A組完成單號，B組完成雙號，交換互查。（2）評價完畢后，強調(diào)：（1） 是對數(shù)的重要性質(zhì)，必須熟練掌握。（板書：性質(zhì)3： ）
（2）注意：指數(shù)式與對數(shù)式互化最關(guān)鍵是搞清N與b在指數(shù)與對數(shù)式中的位置關(guān)系。
（課件展示）問題2：將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
處理：學(xué)生口答，教師依據(jù)學(xué)生口答順序，用課件展示正確答案。
問題3：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
處理：教師引導(dǎo)學(xué)生從指數(shù)式與對數(shù)式關(guān)系入手，探求（1），并示范板書（1）解題過程。其余各題由學(xué)生分組獨立完成。
機動練習(xí)及課外探究：
（1）填空：① =_____,②對數(shù)式 中X的取值范圍是
；
（2）求值：① ；② ；③
（四）全課小結(jié)，細(xì)化新知
1、提問：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲？
2、在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，概括如下：
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)一個概念（對數(shù)）；掌握三個性質(zhì)（零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)； 或 ； ）；掌握一種方法（利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系求對數(shù)值的方法）；注意個問題：（1）指數(shù)式與對數(shù)式互化的關(guān)鍵是搞清N與b在指數(shù)與對數(shù)式中的位置關(guān)系；（2）常用對數(shù)與自然對數(shù)是兩種特殊對數(shù)，務(wù)必牢固掌握。（3）
（五）推薦作業(yè)， 延展新知
1、 0和負(fù)數(shù)無對數(shù)

3、
思考：大家對對數(shù)概念和一些特殊式子已知有了一定的了解，但實際科學(xué)研究和了解自然起了巨大作用，還有哪類對數(shù)？（閱讀課本）
引導(dǎo)板書 常用對數(shù) 自然對數(shù)
為了方便： （e=2.71828）
原式


簡記


例如：
應(yīng)用示例，練習(xí)鞏固
問題1、將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式。
（1） （2） （3） （4）
學(xué)生板演：解：略
變式訓(xùn)練：指數(shù)式寫成對數(shù)式。
（1） （2） （3）
思考：指數(shù)式與對數(shù)式互化注意問題？
最關(guān)鍵是搞清N與b在指數(shù)與對數(shù)式中的位關(guān)系，其中對數(shù)定義是指數(shù)式
與對數(shù)式互化的根據(jù)。
問題2、將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式。（讓學(xué)生閱讀題目，獨立解題。）
（1） （2） （3） （4）
變式訓(xùn)練：把對數(shù)式寫成指數(shù)式。（點評）
（1） （2） （3） （4）
問題3、求值（師生點評總結(jié)）
（1） （2） （3） （4） （5）
活動：學(xué)生獨立解題，回答問題依據(jù)。（利用指數(shù)式與對數(shù)式關(guān)系轉(zhuǎn)化為
指數(shù)式求解）
變形訓(xùn)練：
求下列各項的值：（1） （2） （3）
（4） （5） （6）

點評：本題注意方根的運算，也可借助對數(shù)恒等式來解（#）
總結(jié)提煉（學(xué)生先總結(jié)，學(xué)到什么知識，后老師總結(jié)）
１、對數(shù)的含義
２、對數(shù)式 中字母取值范圍a>0且a≠1 b∈R　N>0
３、三個公式 （問0和負(fù)數(shù)有沒有對數(shù)）
４、兩個特殊對數(shù)
５、應(yīng)用指對數(shù)式經(jīng)化及求值注意地方
課后思考題（選做）
（1）對數(shù)式 中X的取值范圍是 。
（2）若 ，則X= 。
（3）計算： （a>0 b>0 c>0 N>0）
課后練習(xí)：P80 1、2、3 P87 A、1、2
課后作業(yè)：
1、P87 習(xí)題3-4 A 3、（1）（3）（5）（7）（9） 4
2、 請同學(xué)們閱讀課本，搜集有關(guān)對數(shù)發(fā)展材料，尋找有關(guān)換底公式材料，為下一步學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)。
１、板書設(shè)計：引入（1）（2）
對數(shù)定義（注意事項） 指數(shù)式和對數(shù)式的互化 小結(jié)
對數(shù)與指數(shù)冪間關(guān)系 問題1、
提出問題（交流探究） 2、 作業(yè)
兩種常見對數(shù) 3、
謝謝大家再見�。�
知能訓(xùn)練：
１、把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式
（1） （2） （3） （4） （5）
2、把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3、求值（x的值）
(1) （2） （3） （4）
4、（1）求 的值
（2）已知： 、 ，求

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