數(shù)學(xué)必修1：函數(shù)模型 及其應(yīng)用

1．抽象概括：研究實際問題中量，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量；
2．建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù) 的解析式；
3．求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：
例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當(dāng)x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.?
解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，?
則S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= （a-x）（b-x），?
∴S=ab-2［ 2+ （a-x）（b-x）］?
=-2x2+（a+b）x=-2（x- 2+ ?
由圖形知函數(shù)的定義域為{x0＜x≤b}.?
又0＜b＜a,∴0＜b＜ ,若 ≤b,即a≤3b時，?
則當(dāng)x= 時，S有最大值 ;?
若 ＞b,即a＞3b時，?
S（x）在（0,b］上是增函數(shù)，?
此時當(dāng)x=b時，S有最大值為?
-2(b- )2+ =ab-b2,?
綜上可知，當(dāng)a≤3b時，x= 時，?
四邊形面積Smax= ,?
當(dāng)a＞3b時，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2.?
變式訓(xùn)練1：某商人將進(jìn)貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使 每天所賺的利潤最大？并求出最大值.
解：設(shè)每個提價為x元（x≥0），利潤為y元，每天銷售總額為（10+x）（100-10x）元，
進(jìn)貨總額為8（100-10x）元，?
顯然100-10x＞0,即x＜10,?
則y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).?
當(dāng)x=4時，y取得最大值，此時銷售單價應(yīng)為14元，最大利潤為360元.?
例2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度
v（km/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T（t，0）作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）.（1）當(dāng)t=4時，求s的值；?
（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；?
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將
侵襲到N城？如果不會，請說明理由.?
解：（1）由圖象可知：
當(dāng)t=4時，v=3×4=12,?
∴s= ×4×12=24.?
（2）當(dāng)0≤t≤10時，s= ?t?3t= t2，?
當(dāng)10＜t≤20時，s= × 10×30+30（t-10）=30t-150；?
當(dāng)20＜t≤35時，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上可知s=
(3)∵t∈［0，10］時，smax= ×102=150＜650.?
t∈（10，20］時，smax=30×20-150=450＜650.?
∴當(dāng)t∈（20，35］時，令-t2+70t-550=650.?
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,?
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.?
變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺 ，
需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函 數(shù)為R（x）=5x- （萬元）(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）.
（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；?[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？?
（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？?
解：（1）當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺；?
當(dāng)x＞5時，只能售出5 百臺，?
故利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-C（x）?
=
(2)當(dāng)0≤x≤5時，L（x）=4.75x- -0.5，?
當(dāng)x=4.75時，L(x)max=10.78125萬元.?
當(dāng)x＞5時，L（x）=12-0.25x為減函數(shù)，?
此時L（x）＜10.75(萬元）.∴生產(chǎn)475臺時利潤最大.?
（3）由
得x≥4.75- =0.1(百臺）或x＜48(百臺).?
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4800臺時，工廠不虧本.?
例3.某市居民自 來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.?
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)；?
（2）若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.?
解：（1）當(dāng)甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，
y=（5x+3x）×1.8=14.4x;?
當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時，?
即3x≤4且5x＞4,?
y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.?
當(dāng)乙的用水量超過4噸時，?
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，?
所以y=
( 2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上均為單 調(diào)遞增，?
當(dāng)x∈［0， ］時,y≤f（ ）＜26.4;?
當(dāng)x∈（ ， ］時，y≤f（ ）＜26.4;?
當(dāng)x∈（ ,+∞）時，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,?
所以甲戶用水量為5x=7.5噸，?
付費S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);?
乙戶用水量為3x=4.5噸，?
付費S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
變式訓(xùn)練3：1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務(wù)擺在我們的面前.?
（1）世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？?
（2）我國人口在1998年底達(dá)到12 .48億，若將人口平均增長率控制在1%以內(nèi)，我國人口在2008年底至多有多少億？?
以下數(shù)據(jù)供計算時使用：
數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000
對數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010
數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78
對數(shù)lgN0.47710.69901.09621.11761.1392
解：（1）設(shè)每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，?
則y?(1+x)n=60，則當(dāng)n=40時，y=30，?
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，
兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，?
則lg（1+x）= =0.007525，?
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依題意，y≤12.48（1+1%）10?，?
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,?
∴y≤13.78，故人口至多有13.78億.
答每年人口平均增長率為1.7%，2008年人口至多有13.78億.
解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重注意以下幾點：
1．閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù) 之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；
2．建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，不要忘記考察函數(shù)的定義域；
3．求解函數(shù)模型：主要是計算函數(shù)的特殊值，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用.
4．還原評價：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科又要符合實際背景，因于解出的結(jié)果要代入原問題進(jìn)行檢驗、評判最后作出結(jié)論，作出回答.

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