第6講 柱體錐體臺(tái)體的體積
¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解棱柱、棱錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）；能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.
¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 體積公式：
體積公式體積公式
棱柱
圓柱

棱錐
圓錐

棱臺(tái)
圓臺(tái)

2. 柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)行變化，當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時(shí)，它就成了柱體. 因而體積會(huì)有以下的關(guān)系：
.
¤例題精講：
【例1】一個(gè)長(zhǎng)方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2、3、6，則長(zhǎng)方體的體積是 .
解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為 ，則 ，
三式相乘得 .
所以，長(zhǎng)方體的體積為6.
【例2】一塊邊長(zhǎng)為10 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域.
解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為 .
在 中， ,
所以 , 于是 .
依題意函數(shù)的定義域?yàn)?.
【例3】一個(gè)無蓋的圓柱形容器的底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為6，現(xiàn)將該容器盛滿水，然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出，當(dāng)容器中的水是原來的 時(shí)，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為　 　　.
解：容器中水的體積為 .
流出水的體積為 ，如圖， .
設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為α，則 ，解得 .
所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.
點(diǎn)評(píng)：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一個(gè)平面去平分了一個(gè)短圓柱. 從而由等體積法可計(jì)算出高度，解直角三角形而得所求角.
【例4】在邊長(zhǎng)為a的正方形中，剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓，分別作為圓錐的側(cè)面和底面，求所圍成的圓錐的體積.
解：剪下的扇形的弧長(zhǎng)與剪下的圓的周長(zhǎng)是相等的. 設(shè)扇形半徑為x，圓半徑為r，則
， ∴ x=4r ， .
又 AB= ， ∴ ，解得 .
圓錐的高 ，
∴ .
點(diǎn)評(píng)：求已知的平面圖形圍成的旋轉(zhuǎn)體的面積或體積的關(guān)鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量間的關(guān)系. 搞清平面圖形上的哪些量在旋轉(zhuǎn)體中不變，哪些發(fā)生了變化.

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