第6講 柱體錐體臺體的體積
¤學習目標：了解棱柱、棱錐、臺體的體積的計算公式（不要求記憶公式）；能運用柱、錐、臺的體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.
¤知識要點：1. 體積公式：
體積公式體積公式
棱柱
圓柱

棱錐
圓錐

棱臺
圓臺

2. 柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進行變化，當臺體的上底面逐漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體. 因而體積會有以下的關(guān)系：
.
¤例題精講：
【例1】一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2、3、6，則長方體的體積是 .
解：設(shè)長方體的長寬高分別為 ，則 ，
三式相乘得 .
所以，長方體的體積為6.
【例2】一塊邊長為10 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域.
解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為 .
在 中， ,
所以 , 于是 .
依題意函數(shù)的定義域為 .
【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為 ，母線長為6，現(xiàn)將該容器盛滿水，然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出，當容器中的水是原來的 時，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為　 　　.
解：容器中水的體積為 .
流出水的體積為 ，如圖， .
設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為α，則 ，解得 .
所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.
點評：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱. 從而由等體積法可計算出高度，解直角三角形而得所求角.
【例4】在邊長為a的正方形中，剪下一個扇形和一個圓，分別作為圓錐的側(cè)面和底面，求所圍成的圓錐的體積.
解：剪下的扇形的弧長與剪下的圓的周長是相等的. 設(shè)扇形半徑為x，圓半徑為r，則
， ∴ x=4r ， .
又 AB= ， ∴ ，解得 .
圓錐的高 ，
∴ .
點評：求已知的平面圖形圍成的旋轉(zhuǎn)體的面積或體積的關(guān)鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量間的關(guān)系. 搞清平面圖形上的哪些量在旋轉(zhuǎn)體中不變，哪些發(fā)生了變化.

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