第三章基本初等函數(shù)
第一講冪函數(shù)
1、冪函數(shù)的定義
一般地，形如 （ R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 是自變量， 是常數(shù).
如 等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).
注意： 中，前面的系數(shù)為1，且沒有常數(shù)項(xiàng)
2、冪函數(shù)的圖像
（1） （2） （3） （4） （5）



定義域RRR


奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象限單調(diào)增減性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減
定點(diǎn)（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）
3、冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）（原因： ）；
（2） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；
（3） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．

第二講指數(shù)函數(shù)
1、指數(shù)
（1）n次方根的定義
若xn=a，則稱x為a的n次方根，“ ”是方根的記號.
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的奇次方根是0；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對值相等符號相反的數(shù)，0的偶次方根是0，負(fù)數(shù)沒有偶次方根.
（2）方根的性質(zhì)
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， =a.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， =a=
（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
①a = （a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）.
②a = = （a＞0，m、n都是正整數(shù)，n＞1）.
2、指數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù) （ ＞0且 ≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.
說明：
因?yàn)?＞0， 是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)， 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.

若 ＜0，如 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在.
若 =1, 是一個(gè)常量，
不符合 .
3、指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

圖象特征函數(shù)性質(zhì)
＞1
0＜ ＜1
＞1
0＜ ＜1

向 軸正負(fù)方向無限延伸
函數(shù)的定義域?yàn)镽
圖象關(guān)于原點(diǎn)和 軸不對稱
非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都在 軸上方
函數(shù)的值域?yàn)镽+
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1） =1

自左向右，
圖象逐漸上升自左向右，
圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖
象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖
象縱坐標(biāo)都小于1 ＞0， ＞1
＞0， ＜1

在第二象限內(nèi)的圖
象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖
象縱坐標(biāo)都大于1 ＜0， ＜1
＜0， ＞1

（1）底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.
（2）在 （ ＞0且 ≠1）值域是
（3）若
（4）對于指數(shù)函數(shù) （ ＞0且 ≠1），總有
（5）當(dāng) ＞1時(shí)，若 ＜ ，則 ＜ ；
第三講對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)
（1）對數(shù)的概念
一般地，若 ，那么數(shù) 叫做以a為底N的對數(shù)，記作
叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
如： ，讀作2是以4為底，16的對數(shù).
，則 ，讀作 是以4為底2的對數(shù).
（2）指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系：
ab=N logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
兩個(gè)式子表示的a、b、N三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是一樣的，并且可以互化.
（3）對數(shù)運(yùn)算性質(zhì):
①loga（MN）=logaM+logaN.　　　　　　　　�、趌oga =logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④對數(shù)換底公式：logbN= （a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
（4）兩類對數(shù)
①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)， 常記為 .
②以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)， 常記為 .
以后解題時(shí)，在沒有指出對數(shù)的底的情況下，都是指常用對數(shù)，如100的對數(shù)等于2，即 .
2、對數(shù)函數(shù)的概念
一般地，我們把函數(shù) （ ＞0且 ≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
3、對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)


底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.
圖象的特征函數(shù)的性質(zhì)
（1）圖象都在 軸的右邊
（1）定義域是（0，+∞）
（2）函數(shù)圖象都經(jīng)過（1，0）點(diǎn)（2）1的對數(shù)是0
（3）從左往右看，當(dāng) ＞1時(shí)，圖象逐漸上升，當(dāng)0＜ ＜1時(shí)，圖象逐漸下降.（3）當(dāng) ＞1時(shí)， 是增函數(shù)，當(dāng)
0＜ ＜1時(shí)， 是減函數(shù).
（4）當(dāng) ＞1時(shí)，函數(shù)圖象在（1，0）點(diǎn)右邊的縱坐標(biāo)都大于0，在（1，0）點(diǎn)左邊的縱坐標(biāo)都小于0.當(dāng)0＜ ＜1時(shí)，圖象正好相反，在（1，0）點(diǎn)右邊的縱坐標(biāo)都小于0，在（1，0）點(diǎn)左邊的縱坐標(biāo)都大于0.（4）當(dāng) ＞1時(shí)
＞1，則 ＞0
0＜ ＜1， ＜0
當(dāng)0＜ ＜1時(shí)
＞1，則 ＜0
0＜ ＜1， ＜0

由上述表格可知，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下
＞1
0＜ ＜1

性
質(zhì)（1）定義域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）過點(diǎn)（1，0），即當(dāng) =1， =0；

（4）在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）是上減函數(shù)

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