專題三：三角函數(shù)

【考點(diǎn)審視】
1、掌握三角函數(shù)概念，其中以三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)為重點(diǎn)。（理科：兼顧反三角）
2、提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，關(guān)鍵是熟悉誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系、和差角公式及倍角公式等，掌握常見的變形方法。
3、解決三角函數(shù)中的求值問題，關(guān)鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。
4、熟練運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)，需關(guān)注復(fù)合問題，在問題轉(zhuǎn)化過程中，進(jìn)一步重視三角恒等變形。
5、掌握 等的圖象及性質(zhì)，深刻理解圖象變換之原理。
6、解決與三角函數(shù)有關(guān)的（常見的）最值問題。
7、正確處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理，提高邊角、角角轉(zhuǎn)化意識。
8、提高綜合運(yùn)用的能力，如對實(shí)際問題的解決以及與其它章節(jié)內(nèi)容的整合處理。
【疑難點(diǎn)拔】
一、概念不清
例1． 若 、 為第三象限角，且 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不對
錯(cuò)解 選（A）
分析：角的概念不清，誤將象限角看成類似 區(qū)間角。如取 ，可知（A）不對。用排除法，可知應(yīng)選（D）。
二、以偏概全
例2． 已知 ，求 的值及相應(yīng) 的取值范圍。
錯(cuò)解 當(dāng) 是第一、四象限時(shí)， ，當(dāng) 是第二、三象限時(shí)， 。
分析：把 限制為象限角時(shí)，只考慮 且 的情形，遺漏了界限角。應(yīng)補(bǔ)充：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，或 。
三、忽略隱含條件
例3． 若 ，求 的取值范圍。
錯(cuò)解 移項(xiàng)得 ，兩邊平方得
即
分析：忽略了滿足不等式的 在第一象限，上述解法引進(jìn)了 。
正解： 即 ，由 得
∴
四、忽視角的范圍，盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4． 設(shè) 、 為銳角，且 + ，討論函數(shù) 的最值。
錯(cuò)解
可見，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。
分析：由已知得 ，∴ ，則
∴當(dāng) ，即 時(shí)， ，最大值不存在。
五、忽視應(yīng)用均值不等式的條件
例5． 求函數(shù) 的最小值。
錯(cuò)解
∴當(dāng) 時(shí)，
分析：在已知條件下，（1）、（2）兩處不能同時(shí)取等號。
正解：
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，時(shí)，
專題四：三角函數(shù)
【經(jīng)典題例】
例1：點(diǎn)P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓 逆時(shí)針方向運(yùn)動 弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
（A） （B） （C） （D）
[思路分析] 記 ，由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足 ，故選（A）
[簡要評述]三角函數(shù)定義是三角函數(shù)理論的基礎(chǔ)，理解掌握能起到事半功倍的效果。
例2：求函數(shù) 的最小正周期、最大值和最小值.
[思路分析]
所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
[簡要評述]三角恒等變形是歷年高考考察的主要內(nèi)容，變形能力的提高取決于一定量的訓(xùn)練以及方法的積累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函數(shù)的周期、最值是考察的熱點(diǎn)，變形化簡是必經(jīng)之路。
例3：已知 ，
的值.
[思路分析] ∵
∴得 又
于是

[簡要評述] 此類求值問題的類型是：已知三角方程，求某三角代數(shù)式的值。一般來說先解三角方程，得角的值或角的某個(gè)三角函數(shù)值。如何使解題過程化繁為簡，變形仍然顯得重要，此題中巧用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，還用到了常用的變形方法，即“化正余切為正余弦”。
例4：已知b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)= 對任意α、β R有：
且
（1）求f（1）的值；（2）證明：c ；（3）設(shè) 的最大值為10，求f（x）。
[思路分析]（1）令α= ，得 令β= ，得 因此 ；
（2）證明：由已知，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 通過數(shù)形結(jié)合的方法可得： 化簡得c ；
（3）由上述可知，[-1，1]是 的減區(qū)間，那么 又 聯(lián)立方程組可得 ,所以
[簡要評述]三角復(fù)合問題是綜合運(yùn)用知識的一個(gè)方面，復(fù)合函數(shù)問題的認(rèn)識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這一方面的學(xué)習(xí)有利于提高綜合運(yùn)用的能力。
例5：關(guān)于正弦曲線回答下述問題：
（1）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；
（2）若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，則 的值是 1 ；
（3）把函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），則所得的函數(shù)解析式子是 ；
（4）若函數(shù) 的最大值是 ，最小值是 ，最小正周期是 ，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，- ），則函數(shù)的解析式子是 ；
[思路分析] 略
[簡要評述]正弦曲線問題是三角函數(shù)性質(zhì)、圖象問題中的重點(diǎn)內(nèi)容，必須熟練掌握。上述問題的解答可以根據(jù)正弦曲線的“五點(diǎn)畫法”在草稿紙上作出函數(shù)的草圖來驗(yàn)證答案或得到答案。
例6：函數(shù)
（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的最大值及對應(yīng)的x值。
[思路分析] （1）{xx
(2)設(shè)t=sinx+cosx, 則y=t-1
[簡要評述]若 關(guān)于 與 的表達(dá)式，求函數(shù)的最值常通過換元法，如令 ，使問題得到簡化。
例7：在ΔABC中，已知 （1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）求角B的取值范圍。
[思路分析]（1）條件等式降次化簡得
（2）
∴……，得B的取值范圍
[簡要評述]三角形中的變換問題，除了需要運(yùn)用三角式變換的所有方法、技巧外，還經(jīng)常需要考慮對條件或結(jié)論中的“邊”與“角”運(yùn)用“正弦定理、余弦定理或面積公式”進(jìn)行互換。
例8：水渠橫斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為h，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時(shí)下底角α應(yīng)該是多少？
[思路分析] CD= , C= ,轉(zhuǎn)化為考慮y= 的最小值，可得當(dāng) 時(shí)，y最小，即C最小。
[簡要評述]“學(xué)以致用”是學(xué)習(xí)的目的之一，三角知識的應(yīng)用很廣泛，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)受到重視。

【熱身沖刺】
一、選擇題：
1．若 ，則滿足 =0.5的角 的個(gè)數(shù)是（C）
（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5
2．為了得到函數(shù) 的圖象，可以將函數(shù) 的圖象（B ）
（A）向右平移 個(gè)單位長度 （B）向右平移 個(gè)單位長度
（C）向左平移 個(gè)單位長度 （D）向左平移 個(gè)單位長度
3．已知函數(shù) ，則下面三個(gè)命題中：（1） ；（2） ；（3） ；其中正確的命題共有（ B ）
（A） 0個(gè) （B） 1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)
4．若 是奇函數(shù)，且當(dāng) >0時(shí)， ，則當(dāng) 時(shí)， 為( C )
（A） （B） （C） （D）
5．函數(shù) 是奇函數(shù)，則 等于（ D）
（A） （B） （C） （D）
6．如果圓 至少覆蓋函數(shù) 的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則 的取值范圍是（ B ）
（A） （B） （C） （D）
7．若 ∈[ ]，則y＝
的最大值是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
8．．函數(shù) 在區(qū)間[ 上的最小值為- ，則 的取值為（ C ）
（A）[ （B）[0， （C）[ （D）
9．若△ABC面積S= 則∠C=（ C）
（A） （B） （C） （D）
10．已知向量 則 與 的夾角為（ A ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空題：
11．若 是以5為周期的奇函數(shù)， =4,且cos ，則 = -4 .
12．函數(shù) =lg(sin cos )的增區(qū)間是
13．用 表示不超過實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)。
則 = -81 。
14．設(shè) ，且 ，則 的取值范圍是 ；
三、解答題：
15．（文）求函數(shù) 的定義域。
答案：
（理）二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，對任何 ，都有 ）= ，設(shè)M= [arcsin(sin4)]，N= [arcos(cos4)]，討論M和N的大小。
答案： M>N
16．在銳角三角形ABC中，
（Ⅰ）求證 ； （Ⅱ）設(shè) =3，求 邊上的高.
略解（Ⅰ）證明：
所以
（Ⅱ）解： ，
即 ，將 代入上式并整理后解得
，舍去負(fù)值，∴
設(shè) 邊上的高為 .由AB=AD+DB= 得CD=2+ .
17．已知 ， ，其中 ，
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值。
答案： ；
18．在銳角ΔABC中，已知A略證：由已知得 ，……進(jìn)一步可求出 ……，得 ，
∴
19．（1）已知 ，證明不存在實(shí)數(shù) 能使等式cos +msin =m(*)成立；
（2）試擴(kuò)大 的取值范圍，使對于實(shí)數(shù) ，等式(*)能成立；
（3）在擴(kuò)大后的 取值范圍內(nèi)，若取 ,求出使等式(*)成立的 值。
提示：（1）可化為 （2） （3）
20．設(shè)函數(shù) = ? ，其中向量 =(2cos ，1)， =(cos ， sin2 )， ∈R.
(1)若 且 ∈[－ ， ]，求 ；
（2）若函數(shù)y=2sin2 的圖象按向量 =(m，n)(m< )平移后得到函數(shù)y= 的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值.
略解：（Ⅰ）依題設(shè)， =2cos2 + sin2 =1+2sin(2 + ).
由 ，得 ，∵ ∴ .
（Ⅱ）函數(shù) =2sin2 的圖象按向量 =(m，n)平移后得到函數(shù) 的圖象，即函數(shù)y= 的圖象.
由（Ⅰ）得 =2sin2( + )+1. ∵m< ，∴m= ，n=1.


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