指數(shù)概念的擴(kuò)充

一、目標(biāo)
1．經(jīng)歷由冪指數(shù)由整數(shù)逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的過程，理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義．
2．掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)．
3．理解隨著指數(shù)概念的擴(kuò)充，同時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念也由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)逐漸擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)．
4．使學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的合理與嚴(yán)謹(jǐn)，體會(huì)充滿在整個(gè)數(shù)學(xué)中的組織化，系統(tǒng)化的精神．
二、設(shè)計(jì)思路

以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)經(jīng)歷過“數(shù)”的擴(kuò)充過程．由正整數(shù)到整數(shù)，由整數(shù)到有理數(shù)，再由有理數(shù)到實(shí)數(shù)，從而形成一個(gè)優(yōu)美的體系．本章也是按照這個(gè)思路來實(shí)現(xiàn)指數(shù)概念的擴(kuò)充，依據(jù)兩個(gè)原則：①數(shù)學(xué)發(fā)展需要；②基本運(yùn)算能無限制地進(jìn)行．把“指數(shù)”科學(xué)地組織起來，再一次體現(xiàn)充滿在整個(gè)數(shù)學(xué)中的組織化，系統(tǒng)化的精神．
2.1 整數(shù)指數(shù)冪
1．2.1節(jié)首先回憶初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的概念和正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而討論這些運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到整數(shù)指數(shù)冪，為學(xué)習(xí)指數(shù)概念的擴(kuò)充作準(zhǔn)備．2．運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)充是通過實(shí)例說明，不要求證明，降低難度，符合高一學(xué)生的思維水平．3．當(dāng)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

不過，這3條性質(zhì)都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于0的規(guī)定.當(dāng)指數(shù)的范圍擴(kuò)大到有理數(shù)集Q以至實(shí)數(shù)集R后．冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然是上述三條，當(dāng)然這3條性質(zhì)也要遵守負(fù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于0的規(guī)定．
4．本教材強(qiáng)調(diào)了整數(shù)指數(shù)冪滿足不等性質(zhì)，這些性質(zhì)即常用又容易理解．
2.2 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
1．指數(shù)概念的擴(kuò)充，依據(jù)兩個(gè)原則：①數(shù)學(xué)發(fā)展需要；②基本運(yùn)算能無限制地進(jìn)行．
2．強(qiáng)調(diào)指數(shù)概念的擴(kuò)充是由于需要．
3．整個(gè)§2，知識(shí)的發(fā)生發(fā)展都是先講指數(shù)概念的擴(kuò)充．指數(shù)概念的推廣和指數(shù)函數(shù)定義域的擴(kuò)充平行，隨著指數(shù)概念的擴(kuò)充，同時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念也由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)逐漸擴(kuò)充．然后運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)充．
4．本書繞開了根式，講解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．分三步，首先說清楚正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，再說 的意義，最后規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．通過實(shí)例，在冪的運(yùn)算 bn＝am，解決求b的問題中，導(dǎo)出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．導(dǎo)出過程中強(qiáng)調(diào)了b的存在與唯一．使學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的合理與嚴(yán)謹(jǐn)．5．例5、6、7為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念而設(shè)計(jì)．
6．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式只是形式不同，為了方便學(xué)生閱讀參考書，教材中給出“有時(shí)我們把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫成根式形式”，并在習(xí)題中讓學(xué)生適當(dāng)?shù)鼐毩?xí)．
7．有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)，是提出問題：“整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)冪，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于有理數(shù)指數(shù)冪嗎？”后直接給出，沒有證明過程．這是因?yàn)榻滩囊�面�?duì)全體學(xué)生，有興趣的同學(xué)可以在教師指導(dǎo)下證明這些結(jié)論．
2.3 實(shí)數(shù)指數(shù)冪
1．由于學(xué)生必須學(xué)習(xí)極限的概念后，才能真正地理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念，因而本節(jié)安排《閱讀理解》，幫助學(xué)生了解了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義．
2．首先“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想，理解 的一系列不足近似值，和一系列過剩近似值，越來越逼近 的精確值．進(jìn)而認(rèn)識(shí) 的近似值精確度越高，以其不足近似值和過剩近似值為指數(shù)的冪10α?xí)�越來越趨近于同一個(gè)數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)記為 ．
3．讓學(xué)生利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際操作，感受“逼近”過程，認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念．
4．把實(shí)數(shù)指數(shù)冪作為一小節(jié)，目的是讓學(xué)生感受“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”，了解由“有限”認(rèn)識(shí)“無限”的數(shù)學(xué)大思想．
5．當(dāng)指數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的概念也隨之?dāng)U充到實(shí)數(shù)集上．

四、建議
2.1 整數(shù)指數(shù)冪
1．可以采用多種方式復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的概念和正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
2．通過問題“負(fù)整數(shù)指數(shù)冪還保留以上運(yùn)算性質(zhì)嗎？”組織學(xué)生演算例1，從中抽象一般結(jié)論：正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以推廣到整數(shù)．
3．討論例2，讓學(xué)生得出指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的五條可以合并為三條．
4．分清哪些概念是規(guī)定的(如a0＝1，00無意義)，哪些是通過演繹推理得出的．
2.2 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
1．讓學(xué)生理解指數(shù)概念的擴(kuò)充是由于數(shù)學(xué)發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用的需要．
2．正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是由問題“正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算bn ＝a中，常常是已知正實(shí)數(shù)b和正整數(shù)n，求a．反過來已知a和n怎樣求b？”引入．強(qiáng)調(diào)存在與唯一，即“給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，存在惟一的正實(shí)數(shù)b，使得bn ＝a．這樣，我們把這個(gè)存在惟一的正實(shí)數(shù)b記作：b＝ ”．學(xué)生理解這點(diǎn)后，進(jìn)一步講解“給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的正整數(shù)n ，m，存在惟一的正實(shí)數(shù)b，使得bn ＝ am，我們規(guī)定b叫做a的 次冪，記作：b＝ ．它就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”．讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念擴(kuò)充的理性思考．
3．把握難度，指數(shù)概念的擴(kuò)充過程要求較高，運(yùn)算性質(zhì)的推廣中的推理不作要求．
4．對(duì)于運(yùn)算結(jié)果，一般地用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．如有特殊要求，根據(jù)要求給出結(jié)果．但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．
2.3 實(shí)數(shù)指數(shù)冪
1．在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念時(shí)，一定讓學(xué)生利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際操作，感受“逼近”過程．
2． 是學(xué)生熟悉的數(shù)，這里是“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想重新認(rèn)識(shí)它，讓學(xué)生讀出它的一系列不足近似值和過剩近似值，體會(huì)越來越逼近 的精確值的過程，為認(rèn)識(shí) 作準(zhǔn)備．
3．讓學(xué)生算 的一系列不足近似值和過剩近似值，并分析比較，體會(huì)越來越逼近 的精確值的過程．從而對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪有感性認(rèn)識(shí)．
4．指數(shù)函數(shù)概念的擴(kuò)充可以由學(xué)生討論完成．
5．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)直接給出，并告訴學(xué)生：與有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)不同在于，要證明它，我們目前的知識(shí)不夠．

五、課程資料參考
一．怎樣證明正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)?

二．指數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史
1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes，1596??1650年)開始用符號(hào)an表示正整數(shù)冪，在他的《幾何學(xué)》一書中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在十七世紀(jì)初也開始出觀，最早使用分?jǐn)?shù)指數(shù)記號(hào)的是荷蘭工程師司蒂文(Stevin)．十七世紀(jì)末，華里斯開始使用an表示分?jǐn)?shù)指數(shù)及負(fù)數(shù)指數(shù)冪．十八世紀(jì)初，英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(Newton，1642?1727年)開始使用an表示任意實(shí)數(shù)指數(shù)冪．這樣，指數(shù)概念就由正整數(shù)指數(shù)逐步推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)．

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