指數(shù)概念的擴充

一、目標
1．經(jīng)歷由冪指數(shù)由整數(shù)逐步擴充到實數(shù)的過程，理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義．
2．掌握冪的運算性質(zhì)．
3．理解隨著指數(shù)概念的擴充，同時指數(shù)函數(shù)的概念也由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)逐漸擴充到實數(shù)指數(shù)函數(shù)．
4．使學生感受數(shù)學推理的合理與嚴謹，體會充滿在整個數(shù)學中的組織化，系統(tǒng)化的精神．
二、設(shè)計思路

以前的數(shù)學學習中，已經(jīng)經(jīng)歷過“數(shù)”的擴充過程．由正整數(shù)到整數(shù)，由整數(shù)到有理數(shù)，再由有理數(shù)到實數(shù)，從而形成一個優(yōu)美的體系．本章也是按照這個思路來實現(xiàn)指數(shù)概念的擴充，依據(jù)兩個原則：①數(shù)學發(fā)展需要；②基本運算能無限制地進行．把“指數(shù)”科學地組織起來，再一次體現(xiàn)充滿在整個數(shù)學中的組織化，系統(tǒng)化的精神．
2.1 整數(shù)指數(shù)冪
1．2.1節(jié)首先回憶初中學習的整數(shù)指數(shù)冪的概念和正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，進而討論這些運算性質(zhì)能否推廣到整數(shù)指數(shù)冪，為學習指數(shù)概念的擴充作準備．2．運算性質(zhì)的擴充是通過實例說明，不要求證明，降低難度，符合高一學生的思維水平．3．當指數(shù)運算性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪時，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

不過，這3條性質(zhì)都要遵守零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于0的規(guī)定.當指數(shù)的范圍擴大到有理數(shù)集Q以至實數(shù)集R后．冪的運算性質(zhì)仍然是上述三條，當然這3條性質(zhì)也要遵守負實數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于0的規(guī)定．
4．本教材強調(diào)了整數(shù)指數(shù)冪滿足不等性質(zhì)，這些性質(zhì)即常用又容易理解．
2.2 分數(shù)指數(shù)冪
1．指數(shù)概念的擴充，依據(jù)兩個原則：①數(shù)學發(fā)展需要；②基本運算能無限制地進行．
2．強調(diào)指數(shù)概念的擴充是由于需要．
3．整個§2，知識的發(fā)生發(fā)展都是先講指數(shù)概念的擴充．指數(shù)概念的推廣和指數(shù)函數(shù)定義域的擴充平行，隨著指數(shù)概念的擴充，同時指數(shù)函數(shù)的概念也由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)逐漸擴充．然后運算性質(zhì)的擴充．
4．本書繞開了根式，講解分數(shù)指數(shù)冪的概念．分三步，首先說清楚正分數(shù)指數(shù)冪的意義，再說 的意義，最后規(guī)定負分數(shù)指數(shù)冪的意義．通過實例，在冪的運算 bn＝am，解決求b的問題中，導(dǎo)出分數(shù)指數(shù)冪的概念．導(dǎo)出過程中強調(diào)了b的存在與唯一．使學生感受數(shù)學推理的合理與嚴謹．5．例5、6、7為學生理解分數(shù)指數(shù)冪的概念而設(shè)計．
6．分數(shù)指數(shù)冪與根式只是形式不同，為了方便學生閱讀參考書，教材中給出“有時我們把正分數(shù)指數(shù)冪寫成根式形式”，并在習題中讓學生適當?shù)鼐毩暎?br>7．有理指數(shù)冪運算性質(zhì)，是提出問題：“整數(shù)指數(shù)冪擴充到有理數(shù)指數(shù)冪，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于有理數(shù)指數(shù)冪嗎？”后直接給出，沒有證明過程．這是因為教材要面對全體學生，有興趣的同學可以在教師指導(dǎo)下證明這些結(jié)論．
2.3 實數(shù)指數(shù)冪
1．由于學生必須學習極限的概念后，才能真正地理解實數(shù)指數(shù)冪的概念，因而本節(jié)安排《閱讀理解》，幫助學生了解了解實數(shù)指數(shù)冪的意義．
2．首先“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想，理解 的一系列不足近似值，和一系列過剩近似值，越來越逼近 的精確值．進而認識 的近似值精確度越高，以其不足近似值和過剩近似值為指數(shù)的冪10α會越來越趨近于同一個數(shù)，我們把這個數(shù)記為 ．
3．讓學生利用計算器或計算機進行實際操作，感受“逼近”過程，認識實數(shù)指數(shù)冪的概念．
4．把實數(shù)指數(shù)冪作為一小節(jié)，目的是讓學生感受“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”，了解由“有限”認識“無限”的數(shù)學大思想．
5．當指數(shù)擴充到實數(shù)，運算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的概念也隨之擴充到實數(shù)集上．

四、建議
2.1 整數(shù)指數(shù)冪
1．可以采用多種方式復(fù)習整數(shù)指數(shù)冪的概念和正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)．
2．通過問題“負整數(shù)指數(shù)冪還保留以上運算性質(zhì)嗎？”組織學生演算例1，從中抽象一般結(jié)論：正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以推廣到整數(shù)．
3．討論例2，讓學生得出指數(shù)冪的運算性質(zhì)的五條可以合并為三條．
4．分清哪些概念是規(guī)定的(如a0＝1，00無意義)，哪些是通過演繹推理得出的．
2.2 分數(shù)指數(shù)冪
1．讓學生理解指數(shù)概念的擴充是由于數(shù)學發(fā)展和實際應(yīng)用的需要．
2．正分數(shù)指數(shù)冪是由問題“正整數(shù)指數(shù)冪的運算bn ＝a中，常常是已知正實數(shù)b和正整數(shù)n，求a．反過來已知a和n怎樣求b？”引入．強調(diào)存在與唯一，即“給定正實數(shù)a，對于任意給定的正整數(shù)n，存在惟一的正實數(shù)b，使得bn ＝a．這樣，我們把這個存在惟一的正實數(shù)b記作：b＝ ”．學生理解這點后，進一步講解“給定正實數(shù)a，對于任意給定的正整數(shù)n ，m，存在惟一的正實數(shù)b，使得bn ＝ am，我們規(guī)定b叫做a的 次冪，記作：b＝ ．它就是正分數(shù)指數(shù)冪”．讓學生體會數(shù)學概念擴充的理性思考．
3．把握難度，指數(shù)概念的擴充過程要求較高，運算性質(zhì)的推廣中的推理不作要求．
4．對于運算結(jié)果，一般地用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示．如有特殊要求，根據(jù)要求給出結(jié)果．但結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．
2.3 實數(shù)指數(shù)冪
1．在學習實數(shù)指數(shù)冪的概念時，一定讓學生利用計算器或計算機進行實際操作，感受“逼近”過程．
2． 是學生熟悉的數(shù)，這里是“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想重新認識它，讓學生讀出它的一系列不足近似值和過剩近似值，體會越來越逼近 的精確值的過程，為認識 作準備．
3．讓學生算 的一系列不足近似值和過剩近似值，并分析比較，體會越來越逼近 的精確值的過程．從而對實數(shù)指數(shù)冪有感性認識．
4．指數(shù)函數(shù)概念的擴充可以由學生討論完成．
5．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)直接給出，并告訴學生：與有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)不同在于，要證明它，我們目前的知識不夠．

五、課程資料參考
一．怎樣證明正分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)?

二．指數(shù)發(fā)展簡史
1637年，法國數(shù)學家笛卡兒(Descartes，1596??1650年)開始用符號an表示正整數(shù)冪，在他的《幾何學》一書中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分數(shù)指數(shù)冪在十七世紀初也開始出觀，最早使用分數(shù)指數(shù)記號的是荷蘭工程師司蒂文(Stevin)．十七世紀末，華里斯開始使用an表示分數(shù)指數(shù)及負數(shù)指數(shù)冪．十八世紀初，英國數(shù)學家牛頓(Newton，1642?1727年)開始使用an表示任意實數(shù)指數(shù)冪．這樣，指數(shù)概念就由正整數(shù)指數(shù)逐步推廣到實數(shù)指數(shù)．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/64611.html

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