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第二章小結與復習
（一）目標
1.知識與技能
掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念和性質(zhì).對復合函數(shù)、抽象函數(shù)有一個新的認識.
2.過程與方法
歸納、總結、提高.
3.情感、態(tài)度、價值觀
培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和交流的能力及分類討論、抽象理解能力.
（二）重點、難點
重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用.
難點：分類討論的標準、抽象函數(shù)的理解.
（三）教學方法
講授法、討論法.
（四）教學過程

教學
環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖
復習
引入（多媒體投影）
1.本章知識結構

2.方法總結

學生總結，老師完善.
師：請同學們總結本章知識結構.
生：（1）指數(shù)式和對數(shù)式：①整數(shù)指數(shù)冪；②方根和根式的概念；③分數(shù)指數(shù)冪；④有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)；⑤無理數(shù)指數(shù)冪；⑥對數(shù)概念；⑦對數(shù)的運算性質(zhì)；⑧指數(shù)式與對數(shù)式的互化關系.
（2）指數(shù)函數(shù)：①指數(shù)函數(shù)的概念；②指數(shù)函數(shù)的定義域、值域；③指數(shù)函數(shù)的圖象（恒過定點（0，1），分a＞1，0＜a＜1兩種情況）；④不同底的指數(shù)函數(shù)圖象的比較；⑤指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（分a＞1，0＜a＜1兩種情況）；⑥圖象和性質(zhì)的應用.
（3）對數(shù)函數(shù)：①對數(shù)函數(shù)的概念；②對數(shù)函數(shù)的定義域、值域；③對數(shù)函數(shù)的圖象（恒過定點（0，1），分a＞1和0＜a＜1兩種情況）；④不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的比較；
⑤對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（分a＞1，0＜a＜1兩種情況）；⑥圖象和性質(zhì)的應用；⑦反函數(shù)的有關知識.
（4）冪函數(shù)：①冪函數(shù)的概念；②冪函數(shù)的定義域、值域（要結合指數(shù)來講）；③冪函數(shù)的圖象（過定點情況，圖象要結合指數(shù)來講）；④冪函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等，同樣要結合指數(shù)）；⑥圖象和性質(zhì)的應用.

師：請同學們歸納本章解題方法.
生：（1）函數(shù)的定義域的求法：列出使函數(shù)有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為：①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
（2）函數(shù)值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判別式法；③反函數(shù)法；④換元法；⑤函數(shù)的單調(diào)性法.
（3）單調(diào)性的判定法：①設x1、x2是所研究區(qū)間內(nèi)的任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f（x1）與f（x2）的大��；③作差比較或作商比較.
（注：做有關選擇、填空題時，可采用復合函數(shù)單調(diào)性判定法，做解答題時必須用單調(diào)性定義和基本函數(shù)的單調(diào)性）
（4）圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)；③利用函數(shù)圖象的對稱性或互為反函數(shù)圖象的對稱描繪函數(shù)圖象.
（5）常用函數(shù)的研究、總結與推廣：
①研究函數(shù)y= （ax±a－x）（a＞0，且a≠1）的定義域、值域、單調(diào)性、反函數(shù)；
②研究函數(shù)y=loga（ ±x）（a＞0，且a≠1）的定義域、單調(diào)性、反函數(shù).
（6）抽象函數(shù)〔即不給出f（x）的解析式，只知道f（x）具備的條件〕的研究.
①若f（a+x）=f（a－x），則f（x）關于直線x=a對稱.
②若對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）可與指數(shù)函數(shù)類比.
③若對任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），則f（x）可與對數(shù)函數(shù)類比.

對本章知識、方法形成體系.


應用
舉例例1 設a＞0，x= （a －a ），
求（x+ ）n的值.


例2 已知函數(shù)f（x）= （m＞0，且m≠1）.
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

【例3】 己知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函數(shù)g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值.



【例4】 求函數(shù)y=loga（x－x2）（a＞0，a≠1）的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.


【例5】 設x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函數(shù)y=log （8xy+4y2+1）的值域.


例6 函數(shù)f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.
（1）若f（x）的定義域為（－∞，+∞），求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域為（－∞，+∞），求實數(shù)a的取值范圍.



例1解：1+x2=1+ （a －2+a ）
= （a ）+2+a ）
=［ （a +a ）］2.
∵a＞0，∴a ＞0，a ＞0.
∴a +a ＞0.
∴x+ =x+ （a +a ）= （a －a ）+ （a +a ）=a .
∴（x+ ）n=a.
小結：本題考查了分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，技巧是把根號大的式子化成完全平方的形式.
例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，
∴函數(shù)的定義域為R.
∵y= ，∴mx= ＞0.
∴－1＜y＜1.
∴函數(shù)f（x）的值域為（－1，1）.
（2）∵函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，
又∵f（－x）= =
=－f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù).
（3）任取x1＜x2，
則f（x1）－f（x2）= － = .
∵m +1＞0，m +1＞0，
∴當m＞1時，m －m ＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
當0＜m＜1時，m －m ＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
綜上，當m＞1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當0＜m＜1時，函數(shù)f（x）為減函數(shù).
小結：求值域用了反表示法，函數(shù)表達式中有指數(shù)式mx，它具有大于0的范圍，注意反表示法求值域這類題型的特征.函數(shù)的單調(diào)性要注意分類討論.

例3解：∵f（x）的定義域為
［1，4］，
∴g（x）的定義域為［1，2］.
∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，
又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，
∴當x=1時，g（x）min=2；
當x=2時，g（x）max=7.
小結：這是一道易錯題，首先要考慮定義域是本題防錯的關鍵.其實研究函數(shù)問題考慮定義域應該成為一種習慣.

例4解：（1）定義域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，
∴定義域為（0，1）.
（2）∵0＜x－x2=－（x－ ）2+ ≤ ，
∴當0＜a＜1時，
loga（x－x2）≥loga ，
函數(shù)的值域為［loga ，+∞）；
當a＞1時，loga（x－x2）≤loga ，函數(shù)的值域為（－∞，loga ］.
（3）令u=x－x2，在區(qū)間（0，1）內(nèi)，u=x－x2在（0， ］上遞增，在［ ，1）上遞減.
∴當0＜a＜1時，函數(shù)在（0， ］上是減函數(shù)，在［ ，1）上是增函數(shù)；
當a＞1時，函數(shù)在（0， ］上是增函數(shù)，在［ ，1）上是減函數(shù).
小結：復合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性的研究通常由里向外，本題討論的分界線是對數(shù)的底.

例5解：∵x+2y=1，
∴x=1－2y≥0.
又y≥0，∴0≤y≤ .
∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1.
∵0≤y≤ ，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y－ ）2+ ≤ .
∴l(xiāng)og ≤log （8xy+4y2+1）≤log 1=0.
∴函數(shù)的值域為［log ，0］.
小結：本題的易錯點是代換時沒有注意到通過x求出y的范圍.所以我們在代換時要注意等價代換，即考慮到字母的取值范圍.

例6解：（1）∵f（x）的定義域為（－∞，+∞），
∴（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0對一切x∈R恒成立.
當a2－1≠0時，

即
∴a＜－1或a＞ .
當a2－1=0時，若a=－1，則f（x）=0，定義域也是（－∞，+∞）；
若a=1，則f（x）=lg（2x+1），定義域不是（－∞，+∞）.
故所求a的取值范圍是（－∞，－1］∪（ ，+∞）.
（2）∵f（x）的值域為（－∞，+∞），
∴只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）內(nèi)的任何一個值.
∴
即
∴1＜a≤ .
又當a2－1=0時，若a=1，則f（x）=lg（2x+1），其值域也是（－∞，+∞）；
若a=－1，則f（x）=0，不合題意.
∴所求a的取值范圍是［1， ］.
小結：本題考查了換元轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，理解對數(shù)函數(shù)概念，特別是把握定義域、值域的含義是解題的關鍵.特別是（2）中，f（x）的值域是R的含義是真數(shù)部分即t=（a－1）x2+（a+1）x+1在x取值時需取滿足（0，+∞）的每一個值，否則f（x）的值域就不是R，這就要求t關于x的二次函數(shù)不能有比零大的最小值.因此Δ≥0，這時要注意f（x）的定義域不是R的集合了，而是（－∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2分別為相應二次方程的小根、大根.
進一步掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念和性質(zhì)等知識.
培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和交流的能力及分類討論、抽象理解能力.

歸納
總結1.我們從正整數(shù)指數(shù)冪出發(fā)，經(jīng)過推廣得到了有理數(shù)指數(shù)冪，又由“有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想，認識了實數(shù)指數(shù)冪.這個過程體現(xiàn)了數(shù)學概念推廣的基本思想.有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是從正整數(shù)指數(shù)冪推廣得到的.從對數(shù)與指數(shù)的相互聯(lián)系出發(fā)，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，我們推出了對數(shù)運算性質(zhì).
2.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型描述.本章學習的三種不同類型的函數(shù)模型，刻畫了客觀世界中三類具有不同變化規(guī)律，因而具有不同對應關系的變化現(xiàn)象.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是描述客觀世界中許多事物發(fā)展變化的三類重要的函數(shù)模型，這三類函數(shù)的圖象和性質(zhì)是我們解決相關問題的重要工具.
3.研究函數(shù)時，函數(shù)圖象的作用要充分重視.另外，計算器或計算機可以幫助我們方便地作出函數(shù)圖象，并可以動態(tài)地演示函數(shù)的變化過程，這對我們研究函數(shù)性質(zhì)很有幫助.
學生先自回顧反思，教師點評完善．形成知識體系.
課后
作業(yè)作業(yè)：小結與復習 習案學生獨立完成鞏固新知
提升能力
備選例題
例1 已知f (x) = lgx，則y = f (1 ? x)的圖象是下圖中的（ A ）

【解析】方法一：y = f (1 ? x) = lg(1 ? x)，顯然x≠1，故排除B、D；又因為當x = 0時，y = 0，故排除C.
方法二：從圖象變換得結果：
y = lg(?x)

y = lg[? (x?1)] y = lg(1 ? x).
【小結】（1）y = lgx變成y = lg (1 ? x)過程不會變換，不知道關于什么軸對稱導致誤解.
（2）解決有關圖象的選擇問題，方法比較靈活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意圖象的特點，對于圖象的對稱、平移問題一定要注意對稱軸是什么. 平移是左移還是右移，移動的單位是多少，這是移動的關鍵.
例2 設a＞0，a≠1，t＞0，比較 與 的大小，并證明你的結論.
【解析】∵t＞0，∴可比較 與 的大小，
即比較 與 的大小.
∵當t = 1時， ，∴ .
當t≠1時，
∵ = ＞0，
∴t + 1＞ ，∴ ＞ .
∴當0＜a＜1時， ＞ ，
即 ＞ .
當a＞1時， ＜ ，
即 ＜ .
綜上知：當t = 1時， ；
當t＞0且t≠1時，若0＜a＜1，
有 ＞ ；
若a＞1，則有 ＜ .
【小結】解決此類比較大小的題目，要注意結合函數(shù)的單調(diào)性，作差比較一定要判斷差值與0的大小，從而作出大小的比較，注意分類討論的思想應用，本題中的t +1和 的比較. 可由t + 1 ? 2 ≥0，所以t + 1≥ (t=1時取等號)，從而得出0＜ ≤1和 ≥ .


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