第三課時(shí) 直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)

（一）目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）使學(xué)生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理；
（2）能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題；
（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互關(guān)系.
2．過程與方法
（1）讓學(xué)生在觀察物體模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行操作確認(rèn)，獲得對(duì)性質(zhì)定理正確性的認(rèn)識(shí)；
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過“直觀感知、操作確認(rèn)、推理證明”，培養(yǎng)學(xué)生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.
（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)
兩個(gè)性質(zhì)定理的證明.
（三）教學(xué)方法
學(xué)生依據(jù)已有知識(shí)和方法，在教師指導(dǎo)下，自主地完成定理的證明、問題的轉(zhuǎn)化.
教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入問題1：判定直線和平面垂直的方法有幾種？
問題2：若一條直線和一個(gè)平面垂直，可得到什么結(jié)論？若兩條直線與同一個(gè)平面垂直呢？師投影問題. 學(xué)生思考、討論問題，教師點(diǎn)出主題復(fù)習(xí)鞏固以舊帶新
探索新知一、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1．問題：已知直線a、b和平面 ，如果 ，那么直線a、b一定平行嗎？
已知
求證：b∥a.
證明：假定b不平行于a，設(shè) =0
b′是經(jīng)過O與直線a平行的直線
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即經(jīng)過同一點(diǎn)O的兩線b、b′都與 垂直這是不可能的，
因此b∥a.
2．直線與平面垂直的性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
簡化為：線面垂直 線線平行生：借助長方體模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間相互平行，所以結(jié)論成立.
師：怎么證明呢？由于無法把兩條直線a、b歸入到一個(gè)平面內(nèi)，故無法應(yīng)用平行直線的判定知識(shí)，也無法應(yīng)用公理4，有這種情況下，我們采用“反證法”
師生邊分析邊板書.
借助模型教學(xué)，培養(yǎng)幾何直觀能力.，反證法證題是一個(gè)難點(diǎn)，采用以教師為主，能起到一個(gè)示范作用，并提高上課效率.
探索新知二、平面與平面平行的性質(zhì)定理
1．問題
黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？
2．例1 設(shè) ， =CD， ，AB⊥CD，AB⊥CD = B求證AB

證明：在 內(nèi)引直線BE⊥CD，垂足為B，則∠ABE是二面角 的平面角.由 知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE與CD是 內(nèi)的兩條相交直線，所以AB⊥
3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直
簡記為：面面垂直 線面垂直.教師投影問題，學(xué)生思考、觀察、討論，然后回答問題
生：借助長方體模型，在長方體ABCD ? A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直線與兩個(gè)平面的交線垂直即可.
師：證明直線和平面垂直一般都轉(zhuǎn)化為證直線和平面內(nèi)兩條交線垂直，現(xiàn)AB⊥CD，需找一條直線與AB垂直，有條件 還沒有用，能否利用 構(gòu)造一條直線與AB垂直呢？
生：在面 內(nèi)過B作BE⊥CD即可.
師：為什么呢？
學(xué)生分析，教師板書

本例題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助線，采用分析綜合法能較好地解決這個(gè)問題.
典例分析例2 如圖，已知平面 ， ，直線a滿足 ， ，試判斷直線a與平面 的位置關(guān)系.
解：在 內(nèi)作垂直于 與 交線的直線b，
因?yàn)?，所以
因?yàn)?，所以a∥b.
又因?yàn)?，所以a∥ .
即直線a與平面 平行.
例3 設(shè)平面 ⊥平面 ，點(diǎn)P作平面 的垂線a，試判斷直線a與平面 的位置關(guān)系？
證明：如圖，設(shè) = c，過點(diǎn)P在平面 內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有 .
因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與平面 垂直，所以直線a與直線b垂合，因此 .師投影例2并讀題
生：平行
師：證明線面平行一般策略是什么？
生：轉(zhuǎn)證線線平行
師：假設(shè)內(nèi)一條直線b∥a則b與 的位置關(guān)系如何？
生：垂直
師：已知 ，怎樣作直線b？
生：在 內(nèi)作b垂直于 、 的交線即可.
學(xué)生寫出證明過程，教師投影.
師投影例3并讀題，師生共同分析思路，完成證題過程，然后教師給予評(píng)注.
師：利用“同一法”證明問題主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下，所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn).一是作出符合題意的直線不易想到，二是證直線b與直線a重合，相對(duì)容易一些，本題注意要分類討論，其結(jié)論也可作性質(zhì)用.鞏固所學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練化歸能力.


鞏固所學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練分類思想化歸能力及思維的靈活性.
隨堂練習(xí)1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”錯(cuò)誤的畫“×”.
（1）a．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行. （ √ ）
c．一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直. （ √ ）
（2）已知直線a，b和平面 ，且a⊥b，a⊥ ，則b與 的位置關(guān)系是 .
答案：b∥ 或b .
2．（1）下列命題中錯(cuò)誤的是（ A ）
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 內(nèi)所有直線垂直于平面 .
B．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 .
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 .
D．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 .
（2）已知兩個(gè)平面垂直，下列命題（ B ）
①一個(gè)平面內(nèi)已積壓直線必垂直于另一平面內(nèi)的任意一條直線.
②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線.
③一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面.
④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．設(shè)直線a，b分別在正方體ABCD ? A′B′C′D′中兩個(gè)不同的面所在平面內(nèi)，欲使a∥b，a，b應(yīng)滿足什么條件？
答案：不相交，不異面
4．已知平面 ， ，直線a，且 ， ，a∥ ，a⊥AB，試判斷直線a與直線 的位置關(guān)系.
答案：平行、相交或在平面 內(nèi)學(xué)生獨(dú)立完成


鞏固、所學(xué)知識(shí)
歸納總結(jié)1．直線和平面垂直的性質(zhì)
2．平面和平面垂直的性質(zhì)
3．面面垂直 線面垂直 線線垂直學(xué)生歸納總結(jié)，教材再補(bǔ)充完善.回顧、反思、歸納知識(shí)提高自我整合知識(shí)的能力.
課后作業(yè)2.3 第三課時(shí) 習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識(shí)
提升能力
備選例題
例1 把直角三角板ABC的直角邊BC放置桌面，另一條直角邊AC與桌面所在的平面 垂直，a是 內(nèi)一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？
【解析】

【評(píng)析】若BC與 垂直，同理可得AB與 也垂直，其實(shí)質(zhì)是三垂線定理及逆定理，證明過程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法：“線線垂直→線面垂直→線線垂直” ．
例2 求證：如果兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面．已知 ⊥r， ⊥r， ∩ = l，求證：l⊥r．
【分析】根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可在r內(nèi)構(gòu)造兩相交直線分別與平面 、 垂直．或由面面垂直的性質(zhì)易在 、 內(nèi)作出平面r的垂線，再設(shè)法證明l與其平行即可．
【證明】法一：如圖，設(shè) ∩r = a ， ∩r = b，在r內(nèi)任取一點(diǎn)P．過點(diǎn)P在r內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性質(zhì)）．
又 ∩ = l，
∴l(xiāng)⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r
∴l(xiāng)⊥r．
法二：如圖，設(shè) ∩r = a， ∩r = b，在 內(nèi)作m⊥a，在 內(nèi)作n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n ，m ，
∴m∥ ，又 ∩ = l，m ，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l(xiāng)⊥r．
【評(píng)析】充分利用面面垂直的性質(zhì)構(gòu)造線面垂直是解決本題的關(guān)鍵．證法一充分利用面面垂直、線面垂直、線線垂直相互轉(zhuǎn)化；證法二涉及垂直關(guān)系與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．此題是線線、面面垂直轉(zhuǎn)化的典型題，通過一題多解，對(duì)溝通知識(shí)和方法，開拓解題思路是有益的．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/54981.html

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