第三課時 直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質

（一）目標
1．知識與技能
（1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；
（2）能運用性質定理解決一些簡單問題；
（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互關系.
2．過程與方法
（1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；
3．情感、態(tài)度與價值觀
通過“直觀感知、操作確認、推理證明”，培養(yǎng)學生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.
（二）重點、難點
兩個性質定理的證明.
（三）教學方法
學生依據已有知識和方法，在教師指導下，自主地完成定理的證明、問題的轉化.
教學過程教學內容師生互動設計意圖
新課導入問題1：判定直線和平面垂直的方法有幾種？
問題2：若一條直線和一個平面垂直，可得到什么結論？若兩條直線與同一個平面垂直呢？師投影問題. 學生思考、討論問題，教師點出主題復習鞏固以舊帶新
探索新知一、直線與平面垂直的性質定理
1．問題：已知直線a、b和平面 ，如果 ，那么直線a、b一定平行嗎？
已知
求證：b∥a.
證明：假定b不平行于a，設 =0
b′是經過O與直線a平行的直線
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即經過同一點O的兩線b、b′都與 垂直這是不可能的，
因此b∥a.
2．直線與平面垂直的性質定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
簡化為：線面垂直 線線平行生：借助長方體模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間相互平行，所以結論成立.
師：怎么證明呢？由于無法把兩條直線a、b歸入到一個平面內，故無法應用平行直線的判定知識，也無法應用公理4，有這種情況下，我們采用“反證法”
師生邊分析邊板書.
借助模型教學，培養(yǎng)幾何直觀能力.，反證法證題是一個難點，采用以教師為主，能起到一個示范作用，并提高上課效率.
探索新知二、平面與平面平行的性質定理
1．問題
黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？
2．例1 設 ， =CD， ，AB⊥CD，AB⊥CD = B求證AB

證明：在 內引直線BE⊥CD，垂足為B，則∠ABE是二面角 的平面角.由 知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE與CD是 內的兩條相交直線，所以AB⊥
3．平面與平面垂直的性質定理
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
簡記為：面面垂直 線面垂直.教師投影問題，學生思考、觀察、討論，然后回答問題
生：借助長方體模型，在長方體ABCD ? A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直線與兩個平面的交線垂直即可.
師：證明直線和平面垂直一般都轉化為證直線和平面內兩條交線垂直，現AB⊥CD，需找一條直線與AB垂直，有條件 還沒有用，能否利用 構造一條直線與AB垂直呢？
生：在面 內過B作BE⊥CD即可.
師：為什么呢？
學生分析，教師板書

本例題的難點是構造輔助線，采用分析綜合法能較好地解決這個問題.
典例分析例2 如圖，已知平面 ， ，直線a滿足 ， ，試判斷直線a與平面 的位置關系.
解：在 內作垂直于 與 交線的直線b，
因為 ，所以
因為 ，所以a∥b.
又因為 ，所以a∥ .
即直線a與平面 平行.
例3 設平面 ⊥平面 ，點P作平面 的垂線a，試判斷直線a與平面 的位置關系？
證明：如圖，設 = c，過點P在平面 內作直線b⊥c，根據平面與平面垂直的性質定理有 .
因為過一點有且只有一條直線與平面 垂直，所以直線a與直線b垂合，因此 .師投影例2并讀題
生：平行
師：證明線面平行一般策略是什么？
生：轉證線線平行
師：假設內一條直線b∥a則b與 的位置關系如何？
生：垂直
師：已知 ，怎樣作直線b？
生：在 內作b垂直于 、 的交線即可.
學生寫出證明過程，教師投影.
師投影例3并讀題，師生共同分析思路，完成證題過程，然后教師給予評注.
師：利用“同一法”證明問題主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下，所采用的一種數學方法，這里要求做到兩點.一是作出符合題意的直線不易想到，二是證直線b與直線a重合，相對容易一些，本題注意要分類討論，其結論也可作性質用.鞏固所學知識，訓練化歸能力.


鞏固所學知識，訓練分類思想化歸能力及思維的靈活性.
隨堂練習1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“√”錯誤的畫“×”.
（1）a．垂直于同一條直線的兩個平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一個平面的兩條直線互相平行. （ √ ）
c．一條直線在平面內，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直. （ √ ）
（2）已知直線a，b和平面 ，且a⊥b，a⊥ ，則b與 的位置關系是 .
答案：b∥ 或b .
2．（1）下列命題中錯誤的是（ A ）
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 內所有直線垂直于平面 .
B．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 內一定存在直線平行于平面 .
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 內一定不存在直線垂直于平面 .
D．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 .
（2）已知兩個平面垂直，下列命題（ B ）
①一個平面內已積壓直線必垂直于另一平面內的任意一條直線.
②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線.
③一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面.
④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.
其中正確命題的個數是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．設直線a，b分別在正方體ABCD ? A′B′C′D′中兩個不同的面所在平面內，欲使a∥b，a，b應滿足什么條件？
答案：不相交，不異面
4．已知平面 ， ，直線a，且 ， ，a∥ ，a⊥AB，試判斷直線a與直線 的位置關系.
答案：平行、相交或在平面 內學生獨立完成


鞏固、所學知識
歸納總結1．直線和平面垂直的性質
2．平面和平面垂直的性質
3．面面垂直 線面垂直 線線垂直學生歸納總結，教材再補充完善.回顧、反思、歸納知識提高自我整合知識的能力.
課后作業(yè)2.3 第三課時 習案學生獨立完成固化知識
提升能力
備選例題
例1 把直角三角板ABC的直角邊BC放置桌面，另一條直角邊AC與桌面所在的平面 垂直，a是 內一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？
【解析】

【評析】若BC與 垂直，同理可得AB與 也垂直，其實質是三垂線定理及逆定理，證明過程體現了一種重要的數學轉化思想方法：“線線垂直→線面垂直→線線垂直” ．
例2 求證：如果兩個平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．已知 ⊥r， ⊥r， ∩ = l，求證：l⊥r．
【分析】根據直線和平面垂直的判定定理可在r內構造兩相交直線分別與平面 、 垂直．或由面面垂直的性質易在 、 內作出平面r的垂線，再設法證明l與其平行即可．
【證明】法一：如圖，設 ∩r = a ， ∩r = b，在r內任取一點P．過點P在r內作直線m⊥a，n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性質）．
又 ∩ = l，
∴l(xiāng)⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r
∴l(xiāng)⊥r．
法二：如圖，設 ∩r = a， ∩r = b，在 內作m⊥a，在 內作n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n ，m ，
∴m∥ ，又 ∩ = l，m ，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l(xiāng)⊥r．
【評析】充分利用面面垂直的性質構造線面垂直是解決本題的關鍵．證法一充分利用面面垂直、線面垂直、線線垂直相互轉化；證法二涉及垂直關系與平行關系之間的轉化．此題是線線、面面垂直轉化的典型題，通過一題多解，對溝通知識和方法，開拓解題思路是有益的．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/54981.html

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